题目
1.以下各积分不属于反常积分的是 () .-|||-(A) (int )_(0)^+infty ln (1+x)dx (B) (int )_(0)^1dfrac (sin x)(x)dx (C) (int )_(-1)^1dfrac (dx)({x)^2} D) (int )_(-3)^0dfrac (dx)(1+x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义反常积分
反常积分是指积分区间为无穷大或被积函数在积分区间内有无穷间断点的积分。反常积分分为两类：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。
步骤 2：分析选项 (A)
${\int }_{0}^{+\infty }\ln (1+x)dx$ 是无穷区间上的反常积分，因为积分区间为 $[0, +\infty)$。
步骤 3：分析选项 (B)
${\int }_{0}^{1}\dfrac {\sin x}{x}dx$ 是有界函数在有限区间上的积分，因为 $\dfrac {\sin x}{x}$ 在 $[0, 1]$ 上是有界的，且在 $x=0$ 处的极限存在，所以这个积分不是反常积分。
步骤 4：分析选项 (C)
${\int }_{-1}^{1}\dfrac {dx}{{x}^{2}}$ 是无界函数的反常积分，因为被积函数 $\dfrac {1}{{x}^{2}}$ 在 $x=0$ 处是无界的。
步骤 5：分析选项 (D)
${\int }_{-3}^{0}\dfrac {dx}{1+x}$ 是无界函数的反常积分，因为被积函数 $\dfrac {1}{1+x}$ 在 $x=-1$ 处是无界的。
反常积分是指积分区间为无穷大或被积函数在积分区间内有无穷间断点的积分。反常积分分为两类：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。
步骤 2：分析选项 (A)
${\int }_{0}^{+\infty }\ln (1+x)dx$ 是无穷区间上的反常积分，因为积分区间为 $[0, +\infty)$。
步骤 3：分析选项 (B)
${\int }_{0}^{1}\dfrac {\sin x}{x}dx$ 是有界函数在有限区间上的积分，因为 $\dfrac {\sin x}{x}$ 在 $[0, 1]$ 上是有界的，且在 $x=0$ 处的极限存在，所以这个积分不是反常积分。
步骤 4：分析选项 (C)
${\int }_{-1}^{1}\dfrac {dx}{{x}^{2}}$ 是无界函数的反常积分，因为被积函数 $\dfrac {1}{{x}^{2}}$ 在 $x=0$ 处是无界的。
步骤 5：分析选项 (D)
${\int }_{-3}^{0}\dfrac {dx}{1+x}$ 是无界函数的反常积分，因为被积函数 $\dfrac {1}{1+x}$ 在 $x=-1$ 处是无界的。