题目
(12) int dfrac (x)(sqrt {2)-3(x)^2}dx;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分形式
观察积分 $\int \dfrac {x}{\sqrt {2}-3{x}^{2}}dx$，我们发现分母是一个二次多项式，而分子是分母的导数的一部分。这提示我们可以使用代换法来简化积分。
步骤 2：代换
设 $u = \sqrt{2} - 3x^2$，则 $du = -6x dx$，即 $x dx = -\frac{1}{6} du$。将 $x dx$ 代入原积分中，得到
$$\int \dfrac {x}{\sqrt {2}-3{x}^{2}}dx = \int \dfrac {-\frac{1}{6} du}{u} = -\frac{1}{6} \int \dfrac {du}{u}$$
步骤 3：计算积分
根据基本积分公式 $\int \dfrac {du}{u} = \ln |u| + C$，我们得到
$$-\frac{1}{6} \int \dfrac {du}{u} = -\frac{1}{6} \ln |u| + C$$
将 $u = \sqrt{2} - 3x^2$ 代回，得到
$$-\frac{1}{6} \ln |\sqrt{2} - 3x^2| + C$$
观察积分 $\int \dfrac {x}{\sqrt {2}-3{x}^{2}}dx$，我们发现分母是一个二次多项式，而分子是分母的导数的一部分。这提示我们可以使用代换法来简化积分。
步骤 2：代换
设 $u = \sqrt{2} - 3x^2$，则 $du = -6x dx$，即 $x dx = -\frac{1}{6} du$。将 $x dx$ 代入原积分中，得到
$$\int \dfrac {x}{\sqrt {2}-3{x}^{2}}dx = \int \dfrac {-\frac{1}{6} du}{u} = -\frac{1}{6} \int \dfrac {du}{u}$$
步骤 3：计算积分
根据基本积分公式 $\int \dfrac {du}{u} = \ln |u| + C$，我们得到
$$-\frac{1}{6} \int \dfrac {du}{u} = -\frac{1}{6} \ln |u| + C$$
将 $u = \sqrt{2} - 3x^2$ 代回，得到
$$-\frac{1}{6} \ln |\sqrt{2} - 3x^2| + C$$