用Z变换法解下列差分方程： (1)y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)，y(n)=0，n≤-1 (2)y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)，y(-1)=1，y(n)=0，n＜-1 (3)y(n)=0.8y(n-1)-0.15y(n-2)=δ(n)，y(-1)=0.2，y(-2)=0.5，y(n)=0，n≤-3

考查要点：本题主要考查利用Z变换法求解差分方程的能力，重点在于Z变换的正确应用、初始条件的处理以及反变换的方法。

解题核心思路：

1. 对差分方程两边取Z变换，将时域方程转换为Z域代数方程；
2. 解出Y(z)，并根据初始条件修正表达式；
3. 对Y(z)进行反变换，得到时域解；
4. 结合初始条件和激励信号的有效区间，确定解的最终形式。

破题关键点：

• 初始条件为零时，Z变换直接应用；初始条件非零时，需通过时移性质补充初始项；
• 部分分式分解或留数法是求反变换的常用方法；
• 解的表达式需包含单位阶跃函数u(n)，确保解在有效区间内成立。

第（1）题

Z变换方程

对差分方程两边取Z变换，初始条件为$y(n)=0$（$n \leq -1$），得：
$Y(z) - 0.9z^{-1}Y(z) = 0.05 \cdot \frac{1}{1-z^{-1}}$

解Y(z)

整理得：
$Y(z) = \frac{0.05}{(1-0.9z^{-1})(1-z^{-1})}$

部分分式分解

将$Y(z)$分解为：
$Y(z) = \frac{A}{1-0.9z^{-1}} + \frac{B}{1-z^{-1}}$
解得$A=-0.5$，$B=0.5$。

反变换

对应时域解为：
$y(n) = \begin{cases}-0.5 \cdot (0.9)^{n+1} + 0.5, & n \geq 0 \\0, & n < 0\end{cases}$

第（2）题

Z变换方程

初始条件$y(-1)=1$，需补充初始项：
$Y(z) - 0.9z^{-1}\left(Y(z) + y(-1)z^{1}\right) = \frac{0.05}{1-z^{-1}}$

解Y(z)

整理得：
$Y(z) = \frac{0.95 - 0.9z^{-1}}{(1-0.9z^{-1})(1-z^{-1})}$

留数法求解

计算极点处的留数：

• 在$z=0.9$处，$Res = 0.45 \cdot (0.9)^n$；
• 在$z=1$处，$Res = 0.5$。

反变换

时域解为：
$y(n) = \begin{cases}0.45 \cdot (0.9)^n + 0.5, & n \geq 0 \\0, & n < 0\end{cases}$