曲面x^2+2y^2+3z^2=21在点(1,-2,2)处的法线方程是().A. (x-1)/(1)=(y+2)/(-4)=(z-2)/(6)B. (x+1)/(1)=(y-2)/(-4)=(z+2)/(6)C. (x-1)/(-1)=(y+2)/(-4)=(z-2)/(-6)D. (x+1)/(-1)=(y-2)/(4)=(z+2)/(-6)

本题考查曲面的法线方程的求解，解题的关键在于先求出曲面在给定点处的法向量，再利用点向式方程得到法线方程。

步骤一：求曲面的法向量

设$F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-21$，根据求偏导数的公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，分别对$x$、$y$、$z$求偏导数：

• 对$x$求偏导数：$F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=2x$。
• 对$y$求偏导数：$F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=4y$。
• 对$z$求偏导数：$F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=6z$。

步骤二：计算给定点处的法向量

将点$(1,-2,2)$代入上面求出的偏导数中，得到该点处的法向量$\vec{n}$的坐标：

• $F_{x}(1,-2,2)=2\times1 = 2$。
• $F_{y}(1,-2,2)=4\times(-2)= - 8$。
• $F_{z}(1,-2,2)=6\times2 = 12$。
  所以，曲面在点$(1,-2,2)$处的法向量$\vec{n}=(2,-8,12)$。为了简化计算，可将法向量化为$\vec{n}=(1,-4,6)$（法向量的非零倍数仍是法向量）。

步骤三：求法线方程

过点$(x_0,y_0,z_0)$且方向向量为$(m,n,p)$的直线的点向式方程（即法线方程）为$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$。
已知点$(1,-2,2)$，法向量$\vec{n}=(1,-4,6)$，则该曲面在点$(1,-2,2)$处的法线方程为$\frac{x - 1}{1}=\frac{y + 2}{-4}=\frac{z - 2}{6}$。