题目
不定积分int dfrac (dx)(4{x)^2-9}=-|||-__.int dfrac (dx)(4{x)^2-9}=-|||-__int dfrac (dx)(4{x)^2-9}=-|||-__int dfrac (dx)(4{x)^2-9}=-|||-__int dfrac (dx)(4{x)^2-9}=-|||-__
不定积分
.
题目解答
答案
已知不定积分
，利用平方差公式，进一步整理，可得：
，于是
.
故正确答案为：D
解析
步骤 1：分解分母
首先，我们注意到分母$4x^2 - 9$可以分解为$(2x - 3)(2x + 3)$，这是利用了平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，其中$a = 2x$，$b = 3$。
步骤 2：部分分式分解
接下来，我们对$\dfrac{1}{(2x - 3)(2x + 3)}$进行部分分式分解。设$\dfrac{1}{(2x - 3)(2x + 3)} = \dfrac{A}{2x - 3} + \dfrac{B}{2x + 3}$，其中$A$和$B$是待定系数。通过解方程组，可以找到$A$和$B$的值。这里，我们直接给出结果：$A = \dfrac{1}{6}$，$B = -\dfrac{1}{6}$。
步骤 3：积分
将部分分式代入原积分，得到$\int \dfrac{1}{(2x - 3)(2x + 3)} dx = \int \left(\dfrac{1}{6(2x - 3)} - \dfrac{1}{6(2x + 3)}\right) dx$。分别对每一项进行积分，得到$\dfrac{1}{6}\ln|2x - 3| - \dfrac{1}{6}\ln|2x + 3| + C$。利用对数的性质，可以将结果简化为$\dfrac{1}{6}\ln|\dfrac{2x - 3}{2x + 3}| + C$。
首先，我们注意到分母$4x^2 - 9$可以分解为$(2x - 3)(2x + 3)$，这是利用了平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，其中$a = 2x$，$b = 3$。
步骤 2：部分分式分解
接下来，我们对$\dfrac{1}{(2x - 3)(2x + 3)}$进行部分分式分解。设$\dfrac{1}{(2x - 3)(2x + 3)} = \dfrac{A}{2x - 3} + \dfrac{B}{2x + 3}$，其中$A$和$B$是待定系数。通过解方程组，可以找到$A$和$B$的值。这里，我们直接给出结果：$A = \dfrac{1}{6}$，$B = -\dfrac{1}{6}$。
步骤 3：积分
将部分分式代入原积分，得到$\int \dfrac{1}{(2x - 3)(2x + 3)} dx = \int \left(\dfrac{1}{6(2x - 3)} - \dfrac{1}{6(2x + 3)}\right) dx$。分别对每一项进行积分，得到$\dfrac{1}{6}\ln|2x - 3| - \dfrac{1}{6}\ln|2x + 3| + C$。利用对数的性质，可以将结果简化为$\dfrac{1}{6}\ln|\dfrac{2x - 3}{2x + 3}| + C$。