2.(2020山东高数Ⅲ)已知函数f(x)在[-1,2]上连续，且int_(-1)^0f(x)dx=2,int_(0)^1f(2x)dx=1,则int_(-1)^2f(x)dx=（）A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查定积分的性质及变量替换法的应用，需要学生理解如何通过变量替换将不同积分区间上的积分转换为同一变量的表达式，并进行整体求和。

解题核心思路：

1. 拆分积分区间：将所求积分$\int_{-1}^{2}f(x)dx$拆分为$\int_{-1}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{2}f(x)dx$。
2. 处理已知积分：利用变量替换将$\int_{0}^{1}f(2x)dx$转换为$\int_{0}^{2}f(t)dt$的形式，从而求出$\int_{0}^{2}f(x)dx$的值。
3. 合并结果：将已知的$\int_{-1}^{0}f(x)dx$与转换后的$\int_{0}^{2}f(x)dx$相加，得到最终结果。

破题关键点：

• 变量替换：通过令$t=2x$，将$\int_{0}^{1}f(2x)dx$转换为$\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)dt$，从而建立与$\int_{0}^{2}f(x)dx$的关系。
• 积分区间拆分：将整个区间$[-1,2]$拆分为$[-1,0]$和$[0,2]$两部分，分别代入已知条件求解。

步骤1：拆分所求积分
所求积分$\int_{-1}^{2}f(x)dx$可拆分为：
$\int_{-1}^{2}f(x)dx = \int_{-1}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{2}f(x)dx$

步骤2：处理已知积分$\int_{0}^{1}f(2x)dx=1$
令$t=2x$，则$dt=2dx$，即$dx=\frac{dt}{2}$。当$x=0$时$t=0$，当$x=1$时$t=2$。原积分变为：
$\int_{0}^{1}f(2x)dx = \int_{0}^{2}f(t) \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)dt$
根据题意，$\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)dt = 1$，解得：
$\int_{0}^{2}f(t)dt = 2$

步骤3：代入已知条件求和
已知$\int_{-1}^{0}f(x)dx=2$，且$\int_{0}^{2}f(x)dx=2$，因此：
$\int_{-1}^{2}f(x)dx = 2 + 2 = 4$