已知实数a≠0，求函数(x)=(a)^2(x)^3-6a(x)^2+9x-|||-__的极值，并判断是极大值还是极小值。

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，涉及一阶导数求驻点、二阶导数判断极值类型，以及分类讨论参数对结果的影响。

解题核心思路：

1. 求一阶导数，找到函数的驻点；
2. 求二阶导数，代入驻点判断极值类型；
3. 分类讨论参数a的正负，确定极值的最终结果。

破题关键点：

• 正确分解一阶导数，找到驻点$x_1 = \dfrac{1}{a}$和$x_2 = \dfrac{3}{a}$；
• 二阶导数的符号依赖于参数a的正负，需分情况讨论；
• 代入原函数计算极值的具体数值，注意代数运算的准确性。

求一阶导数与驻点

函数为$f(x) = a^2x^3 - 6ax^2 + 9x$，求导得：
$f'(x) = 3a^2x^2 - 12ax + 9 = 3(ax - 1)(ax - 3)$
令$f'(x) = 0$，解得驻点：
$x_1 = \dfrac{1}{a}, \quad x_2 = \dfrac{3}{a}$

求二阶导数并判断极值类型

二阶导数为：
$f''(x) = 6a^2x - 12a$
代入驻点：

• $x_1 = \dfrac{1}{a}$：
  $f''\left(\dfrac{1}{a}\right) = 6a^2 \cdot \dfrac{1}{a} - 12a = -6a$
• $x_2 = \dfrac{3}{a}$：
  $f''\left(\dfrac{3}{a}\right) = 6a^2 \cdot \dfrac{3}{a} - 12a = 6a$

分类讨论：

• 当$a > 0$时：

  • $f''\left(\dfrac{1}{a}\right) = -6a < 0$，$x_1$为极大值点；
  • $f''\left(\dfrac{3}{a}\right) = 6a > 0$，$x_2$为极小值点。

• 当$a < 0$时：

  • $f''\left(\dfrac{1}{a}\right) = -6a > 0$，$x_1$为极小值点；
  • $f''\left(\dfrac{3}{a}\right) = 6a < 0$，$x_2$为极大值点。

计算极值的具体数值

• $x_1 = \dfrac{1}{a}$处的函数值：
  $f\left(\dfrac{1}{a}\right) = a^2 \cdot \dfrac{1}{a^3} - 6a \cdot \dfrac{1}{a^2} + 9 \cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{4}{a}$

• $x_2 = \dfrac{3}{a}$处的函数值：
  $f\left(\dfrac{3}{a}\right) = a^2 \cdot \dfrac{27}{a^3} - 6a \cdot \dfrac{9}{a^2} + 9 \cdot \dfrac{3}{a} = 0$