题目
设随机变量 X sim P(lambda)，且 P(X=3)=P(X=4)，则 lambda=（）A. 2B. 3C. 4D. 3.5
设随机变量 $X \sim P(\lambda)$，且 $P(X=3)=P(X=4)$，则 $\lambda=$（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 3.5
题目解答
答案
C. 4
解析
步骤 1：写出泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数，表示随机变量 $X$ 的期望值。
步骤 2：根据题意建立方程
根据题意，$P(X=3)=P(X=4)$，代入泊松分布的概率质量函数，得到方程： \[ \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} \]
步骤 3：化简方程求解 $\lambda$
消去 $e^{-\lambda}$ 后，方程化简为： \[ \frac{\lambda^3}{6} = \frac{\lambda^4}{24} \] 进一步化简得： \[ 4\lambda^3 = \lambda^4 \] 即： \[ \lambda^3(\lambda - 4) = 0 \] 解得 $\lambda = 0$（舍）或 $\lambda = 4$。
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数，表示随机变量 $X$ 的期望值。
步骤 2：根据题意建立方程
根据题意，$P(X=3)=P(X=4)$，代入泊松分布的概率质量函数，得到方程： \[ \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} \]
步骤 3：化简方程求解 $\lambda$
消去 $e^{-\lambda}$ 后，方程化简为： \[ \frac{\lambda^3}{6} = \frac{\lambda^4}{24} \] 进一步化简得： \[ 4\lambda^3 = \lambda^4 \] 即： \[ \lambda^3(\lambda - 4) = 0 \] 解得 $\lambda = 0$（舍）或 $\lambda = 4$。