(7) lim _(xarrow 3)dfrac (sqrt {x+1)-2}(x-3)

考查要点：本题主要考查分式型极限的求解方法，特别是处理0/0型不定式的技巧。关键在于通过分子有理化消除根号，化简表达式后直接代入求值。

解题核心思路：
当直接代入$x=3$导致分母和分子均为0时，需对分子或分母进行变形。本题通过分子有理化，将分式转化为可约分的形式，从而消去分母中的零因子，简化计算。

破题关键点：

1. 识别0/0型不定式，确定需要变形处理。
2. 分子有理化：通过乘以共轭表达式，将分子转化为多项式形式。
3. 约分简化，代入$x=3$计算最终结果。

步骤1：分子有理化
将分子$\sqrt{x+1}-2$乘以共轭表达式$\sqrt{x+1}+2$，并同时乘以分母保持等价变形：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {\sqrt {x+1}-2}{x-3} &= \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {(\sqrt {x+1}-2)(\sqrt {x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt {x+1}+2)} \\&= \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt {x+1}+2)} \\&= \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {x-3}{(x-3)(\sqrt {x+1}+2)}.\end{aligned}$

步骤2：约分简化
当$x \neq 3$时，$x-3 \neq 0$，可约去分子和分母中的$x-3$：
$\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {1}{\sqrt {x+1}+2}.$

步骤3：代入求值
直接代入$x=3$：
$\dfrac {1}{\sqrt {3+1}+2} = \dfrac {1}{2+2} = \dfrac {1}{4}.$