如图所示,一个半球形的碗放-|||-在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表 α-|||-面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上, m1 m2-|||-线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,-|||-当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线与水平-|||-面的夹角 alpha =(60)^circ , 则两小球的质量之比 dfrac ({m)_(2)}({m)_(1)} 为 ()-|||-A. dfrac (sqrt {3)}(3) B. dfrac (sqrt {2)}(3)-|||-C. dfrac (sqrt {3)}(2) D. dfrac (sqrt {2)}(2)

考查要点：本题主要考查共点力平衡条件的应用，涉及受力分析、力的分解与合成以及三角函数计算。

解题核心思路：

1. 确定受力：分析两小球的受力情况，明确拉力与重力的关系。
2. 建立平衡方程：对质量为$m_1$的小球进行受力分析，利用正交分解法或矢量三角形法建立平衡方程。
3. 几何关系应用：结合题目中给出的夹角$\alpha = 60^\circ$，通过三角函数关系联立方程求解质量比。

破题关键点：

• 拉力等效：质量为$m_2$的小球处于平衡，拉力$T = m_2g$。
• 支持力方向：碗的内表面光滑，支持力$N$沿球心到小球的连线方向（与水平面成$60^\circ$）。
• 分解支持力：将支持力分解为竖直方向和水平方向的分量，分别与重力和拉力平衡。

受力分析与平衡方程

1. 质量为$m_2$的小球：
   只受重力$m_2g$和细线拉力$T$，由平衡条件得：
   $T = m_2g.$

2. 质量为$m_1$的小球：
   受三个力：重力$m_1g$、支持力$N$、拉力$T$。

   • 支持力方向：沿球心到小球的连线，与水平面成$60^\circ$。
   • 拉力方向：水平方向（细线跨过碗口）。

   正交分解：

   • 竖直方向：支持力的竖直分量平衡重力：
     $N \sin 60^\circ = m_1g.$
   • 水平方向：支持力的水平分量平衡拉力：
     $N \cos 60^\circ = T.$

联立方程求解

将$T = m_2g$代入水平方向方程：
$N \cos 60^\circ = m_2g.$
由竖直方向方程得：
$N = \frac{m_1g}{\sin 60^\circ}.$
联立两式：
$\frac{m_1g}{\sin 60^\circ} \cdot \cos 60^\circ = m_2g.$
消去$g$并化简：
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{\cos 60^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$