题目
四川级 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0 (1)=1, 证明存在不同-|||-的 (xi )_(1),(xi )_(2)in (0,1), 使得 dfrac (1)(f'({xi )_(1))}+dfrac (1)(f'({xi )_(2))}=2.
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用介值定理
由于函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1，根据介值定理，存在c∈(0,1)，使得f(c)=1/2。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
在区间[0,c]和[c,1]上分别应用拉格朗日中值定理，得到：
存在${\xi }_{1}\in (0,c)$，使得$f'({\xi }_{1})=\dfrac {f(c)-f(0)}{c-0}=\dfrac {1/2-0}{c-0}=\dfrac {1}{2c}$；
存在${\xi }_{2}\in (c,1)$，使得$f'({\xi }_{2})=\dfrac {f(1)-f(c)}{1-c}=\dfrac {1-1/2}{1-c}=\dfrac {1}{2(1-c)}$。
步骤 3：计算$\dfrac {1}{f'({\xi }_{1})}+\dfrac {1}{f'({\xi }_{2})}$
根据步骤2的结果，我们有：
$\dfrac {1}{f'({\xi }_{1})}+\dfrac {1}{f'({\xi }_{2})}=\dfrac {1}{1/(2c)}+\dfrac {1}{1/(2(1-c))}=2c+2(1-c)=2$。
由于函数f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1，根据介值定理，存在c∈(0,1)，使得f(c)=1/2。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
在区间[0,c]和[c,1]上分别应用拉格朗日中值定理，得到：
存在${\xi }_{1}\in (0,c)$，使得$f'({\xi }_{1})=\dfrac {f(c)-f(0)}{c-0}=\dfrac {1/2-0}{c-0}=\dfrac {1}{2c}$；
存在${\xi }_{2}\in (c,1)$，使得$f'({\xi }_{2})=\dfrac {f(1)-f(c)}{1-c}=\dfrac {1-1/2}{1-c}=\dfrac {1}{2(1-c)}$。
步骤 3：计算$\dfrac {1}{f'({\xi }_{1})}+\dfrac {1}{f'({\xi }_{2})}$
根据步骤2的结果，我们有：
$\dfrac {1}{f'({\xi }_{1})}+\dfrac {1}{f'({\xi }_{2})}=\dfrac {1}{1/(2c)}+\dfrac {1}{1/(2(1-c))}=2c+2(1-c)=2$。