题目
10. (4.0分) 极限lim_((x,y)to(2,0))(ln(3x+e^2y))/(sqrt(x^2)+y^(2))=____
10. (4.0分) 极限$\lim_{(x,y)\to(2,0)}\frac{\ln(3x+e^{2y})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$=____
题目解答
答案
将 $x = 2$ 和 $y = 0$ 直接代入表达式：
分子：$\ln(3 \cdot 2 + e^{2 \cdot 0}) = \ln(6 + 1) = \ln 7$
分母：$\sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$
因此，极限为：
\[
\lim_{(x,y) \to (2,0)} \frac{\ln(3x + e^{2y})}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{\ln 7}{2}
\]
答案：$\boxed{\frac{\ln 7}{2}}$
解析
步骤 1：代入极限点
将 $x = 2$ 和 $y = 0$ 代入给定的表达式中，计算分子和分母的值。
步骤 2：计算分子
分子为 $\ln(3x + e^{2y})$，代入 $x = 2$ 和 $y = 0$，得到 $\ln(3 \cdot 2 + e^{2 \cdot 0}) = \ln(6 + 1) = \ln 7$。
步骤 3：计算分母
分母为 $\sqrt{x^2 + y^2}$，代入 $x = 2$ 和 $y = 0$，得到 $\sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$。
步骤 4：计算极限值
将分子和分母的值代入原表达式，得到极限值为 $\frac{\ln 7}{2}$。
将 $x = 2$ 和 $y = 0$ 代入给定的表达式中，计算分子和分母的值。
步骤 2：计算分子
分子为 $\ln(3x + e^{2y})$，代入 $x = 2$ 和 $y = 0$，得到 $\ln(3 \cdot 2 + e^{2 \cdot 0}) = \ln(6 + 1) = \ln 7$。
步骤 3：计算分母
分母为 $\sqrt{x^2 + y^2}$，代入 $x = 2$ 和 $y = 0$，得到 $\sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$。
步骤 4：计算极限值
将分子和分母的值代入原表达式，得到极限值为 $\frac{\ln 7}{2}$。