36.(1)设随机变量X的概率密度为 (x),-infty lt xlt infty , 求 =(x)^3 的概-|||-率密度.-|||-(2)设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) (e)^-x,xgt 0 0, xgt 的概率密度.

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解方法，即通过变量变换法（概率密度的函数变换公式）求解新随机变量的概率密度。

解题核心思路：

1. 确定函数单调性：验证函数$g(x)$在定义域内是否严格单调，从而判断是否存在反函数。
2. 求反函数及导数：找到反函数$h(y)$，并计算其导数$h'(y)$。
3. 应用概率密度变换公式：根据公式$f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$，代入反函数和导数，结合原概率密度$f_X(x)$，得到$f_Y(y)$。

破题关键点：

• 严格单调性：若函数$g(x)$严格单调，则可直接应用公式；否则需分段讨论。
• 定义域处理：根据原变量$X$的定义域，确定新变量$Y$的取值范围。

第（1）题

函数分析：$Y = X^3$在全体实数上严格单调递增，反函数为$x = y^{1/3}$，导数为$h'(y) = \dfrac{1}{3} y^{-2/3}$。

公式应用：
$f_Y(y) = f_X(y^{1/3}) \cdot \left| \dfrac{1}{3} y^{-2/3} \right| = \dfrac{1}{3} y^{-2/3} f_X(y^{1/3}), \quad y \neq 0.$

注意：当$y = 0$时，$h'(y)$无定义，但根据概率密度的连续性，$Y=0$的概率为0，故公式中$y \neq 0$。

第（2）题

函数分析：$Y = X^2$在$x > 0$时严格单调递增，反函数为$x = \sqrt{y}$，导数为$h'(y) = \dfrac{1}{2} y^{-1/2}$。

公式应用：
$f_Y(y) = f_X(\sqrt{y}) \cdot \left| \dfrac{1}{2} y^{-1/2} \right| = \dfrac{1}{2\sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, \quad y > 0.$

定义域限制：由于$f_X(x) = 0$当$x \leq 0$，故$Y$的取值范围为$y > 0$。