题目
(5) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({x)^3}
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查利用等价无穷小或泰勒展开求解三角函数的极限问题，重点在于对三角函数在$x \rightarrow 0$时的展开式或近似关系的掌握。
解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$\tan x$和$\sin x$的高阶展开式或等价无穷小替换是关键。通过将分子$\tan x - \sin x$展开到$x^3$项，或分解表达式后利用等价无穷小替换，最终化简得到极限值。
破题关键点：
- 泰勒展开法：将$\tan x$和$\sin x$展开到$x^3$项，相减后保留最高阶有效项。
- 等价无穷小替换法：将$\tan x - \sin x$分解为$\sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$，再分别用$x$和$\frac{x^2}{2}$近似$\sin x$和$1 - \cos x$。
步骤1：泰勒展开法
- 展开$\tan x$和$\sin x$到$x^3$项：
$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3), \quad \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3).$ - 计算分子$\tan x - \sin x$：
$\tan x - \sin x = \left(x + \dfrac{x^3}{3}\right) - \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right) + o(x^3) = \dfrac{x^3}{2} + o(x^3).$ - 代入原式并化简：
$\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3} = \dfrac{\dfrac{x^3}{2} + o(x^3)}{x^3} = \dfrac{1}{2} + o(1).$
当$x \rightarrow 0$时，$o(1) \rightarrow 0$，故极限为$\dfrac{1}{2}$。
步骤2：等价无穷小替换法
- 分解表达式：
$\tan x - \sin x = \sin x \cdot \dfrac{1 - \cos x}{\cos x}.$ - 当$x \rightarrow 0$时，$\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$，$\cos x \sim 1$，代入得：
$\tan x - \sin x \sim x \cdot \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{1} = \dfrac{x^3}{2}.$ - 代入原式：
$\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3} \sim \dfrac{\dfrac{x^3}{2}}{x^3} = \dfrac{1}{2}.$