单选题（共10题，55.0分） 1. (5.0分) 实 二 次 型 f(x_(1),x_(2),x_(3))=3x_(1)^2+4x_(1)x_(2)+4x_(2)^2-4x_(2)x_(3)+5x_(3)^2是（）的. A. 正定 B. 负定 C. 半正定 D. 半负定

为了确定二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2^2 - 4x_2x_3 + 5x_3^2 $ 的性质，我们需要分析其对应的对称矩阵的正定性。二次型可以表示为 $ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $，其中 $ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $ 且 $ A $ 是对称矩阵。对于给定的二次型，矩阵 $ A $ 为： \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{pmatrix} \] 一个对称矩阵是正定的当且仅当它的所有顺序主子式都是正的。顺序主子式是矩阵的左上角的子矩阵的行列式。对于矩阵 $ A $，顺序主子式为： 1. 第一个顺序主子式： $ \det \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix} = 3 $ 2. 第二个顺序主子式： $ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8 $ 3. 第三个顺序主子式： $ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{pmatrix} $ 我们计算第三个顺序主子式： \[ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & -2 & 5 \end{pmatrix} = 3 \left( 4 \cdot 5 - (-2) \cdot (-2) \right) - 2 \left( 2 \cdot 5 - (-2) \cdot 0 \right) + 0 \left( 2 \cdot (-2) - 4 \cdot 0 \right) \] \[ = 3 (20 - 4) - 2 (10 - 0) + 0 \] \[ = 3 \cdot 16 - 2 \cdot 10 \] \[ = 48 - 20 \] \[ = 28 \] 由于所有顺序主子式都是正的（ $ 3 > 0 $， $ 8 > 0 $， $ 28 > 0 $），矩阵 $ A $ 是正定的。因此，二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) $ 是正定的。 答案是：$\boxed{A}$