题目

单选题（共25题，100.0分）题型说明：选择题15.（4.0分）lim_(xto1)(ln(1-x))/(cotpi x)=( )A 1B 0C -1

单选题（共25题，100.0分） 题型说明：选择题 15.（4.0分） $\lim_{x\to1}\frac{\ln(1-x)}{\cot\pi x}=( )$ A 1 B 0 C -1

题目解答

答案

令 $y = 1 - x$，则当 $x \to 1^-$ 时，$y \to 0^+$。原式变为
$\lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{\cot \pi (1 - y)} = \lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{-\cot \pi y}.$
由于 $\cot \pi y \sim \frac{1}{\pi y}$（当 $y \to 0^+$），代入得
$\lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{-\frac{1}{\pi y}} = -\pi \lim_{y \to 0^+} y \ln y.$
而 $y \ln y \to 0$（当 $y \to 0^+$），故极限为 $0$。

答案： $\boxed{B}$

解析

本题考查函数极限的计算，解题思路是通过变量代换将原式进行化简，再利用等价无穷小替换简化式子，最后计算极限。

  1. 变量代换：
    • 令$y = 1 - x$，当$x \to 1^-$时，$y \to 0^+$。
    • 此时$\cot\pi x=\cot\pi(1 - y)$，根据诱导公式$\cot(\pi - \alpha)=-\cot\alpha$，可得$\cot\pi(1 - y)=-\cot\pi y$。
    • 那么原式$\lim_{x\to1^-}\frac{\ln(1 - x)}{\cot\pi x}$就变为$\lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{-\cot \pi y}$。
  2. 等价无穷小替换：
    • 当$y \to 0^+$时，$\cot \pi y \sim \frac{1}{\pi y}$（等价无穷小的知识）。
    • 将$\cot \pi y$用$\frac{1}{\pi y}$替换，得到$\lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{-\frac{1}{\pi y}}$。
    • 对$\lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{-\frac{1}{\pi y}}$进行变形，$\lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{-\frac{1}{\pi y}}=-\pi \lim_{y \to 0^+} y \ln y$。
  3. 计算极限：
    • 对于$\lim_{y \to 0^+} y \ln y$，可将其变形为$\lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{\frac{1}{y}}$，此时它是$\frac{-\infty}{\infty}$型的极限，使用洛必达法则。
    • 根据洛必达法则，若$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$是$\frac{0}{0}$型或$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$型，则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
    • 对$\frac{\ln y}{\frac{1}{y}}$求导，$(\ln y)^\prime=\frac{1}{y}$，$(\frac{1}{y})^\prime=-\frac{1}{y^2}$。
    • 所以$\lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{\frac{1}{y}}=\lim_{y \to 0^+} \frac{\frac{1}{y}}{-\frac{1}{y^2}}=\lim_{y \to 0^+} (-y)=0$。
    • 则$-\pi \lim_{y \to 0^+} y \ln y=-\pi\times0 = 0$。