1.求下列微分方程的通解:-|||-(2) '-yln y=0; ()

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要将方程中的变量分离后分别积分，最终得到通解。

解题核心思路：

1. 分离变量：将方程整理为关于$y$的函数和关于$x$的函数分别位于等式两边。
2. 积分求解：对两边分别积分，注意积分常数的处理。
3. 化简表达式：通过代数变形将结果表示为$y$关于$x$的显式表达式。

破题关键点：

• 识别方程类型：方程形式为$x \frac{dy}{dx} - y \ln y = 0$，属于可分离变量方程。
• 正确分离变量：将$\frac{dy}{dx}$项单独分离，整理为$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$。
• 积分技巧：对$\int \frac{1}{y \ln y} dy$使用换元法（令$u = \ln y$）。

原方程：$x \frac{dy}{dx} - y \ln y = 0$

1. 分离变量
   将方程变形为：
   $x \frac{dy}{dx} = y \ln y$
   两边同时除以$x y \ln y$，得：
   $\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$

2. 积分求解

   • 左侧积分：$\int \frac{1}{y \ln y} dy$
     令$u = \ln y$，则$du = \frac{1}{y} dy$，积分变为：
     $\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\ln y| + C$
   • 右侧积分：$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

   联立得：
   $\ln |\ln y| = \ln |x| + C$

3. 化简表达式

   • 消去绝对值并合并常数：$\ln y = C x$（$C$为任意常数）。
   • 对两边取指数函数：
     $y = e^{C x}$