题目
设 iint_(D) f(x, y), dx , dy = int_(0)^1 dx int_(x)^2x f(x, y), dy，其中 f(x, y) 是连续函数，则 D 由哪些曲线围成？() A. y = x, y = (3)/(2)x, x = 1B. y = 3x, y = x, x = 1C. y = x, y = 2x, x = 1D. y = x, y = (1)/(2)x, x = 1
设 $\iint_{D} f(x, y)\, dx \, dy = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} f(x, y)\, dy$，其中 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $D$ 由哪些曲线围成？()
- A. $y = x, y = \frac{3}{2}x, x = 1$
- B. $y = 3x, y = x, x = 1$
- C. $y = x, y = 2x, x = 1$
- D. $y = x, y = \frac{1}{2}x, x = 1$
题目解答
答案
由二重积分表达式 $\iint\limits_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} f(x,y) \, dy$，可得积分区域 $D$ 的描述为：
\[ D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq 2x\}. \]
该区域由直线 $y = x$（下界），$y = 2x$（上界），以及垂直线 $x = 1$（右界）围成。对应选项为：
\[ \boxed{C} \]
解析
步骤 1：理解二重积分的表达式
二重积分 $\iint_{D} f(x, y)\, dx \, dy$ 表示对函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的积分。给定的表达式 $\iint_{D} f(x, y)\, dx \, dy = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} f(x, y)\, dy$ 表明积分区域 $D$ 可以通过 $x$ 和 $y$ 的范围来描述。
步骤 2：确定积分区域 $D$
根据给定的二重积分表达式，积分区域 $D$ 可以描述为：\[ D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq 2x\}. \] 这意味着 $x$ 的范围是从 $0$ 到 $1$，而 $y$ 的范围对于每个 $x$ 值是从 $x$ 到 $2x$。
步骤 3：确定围成区域 $D$ 的曲线
根据步骤 2 中的描述，区域 $D$ 由以下曲线围成：
- $y = x$（下界）
- $y = 2x$（上界）
- $x = 1$（右界）
二重积分 $\iint_{D} f(x, y)\, dx \, dy$ 表示对函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的积分。给定的表达式 $\iint_{D} f(x, y)\, dx \, dy = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2x} f(x, y)\, dy$ 表明积分区域 $D$ 可以通过 $x$ 和 $y$ 的范围来描述。
步骤 2：确定积分区域 $D$
根据给定的二重积分表达式，积分区域 $D$ 可以描述为：\[ D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq 2x\}. \] 这意味着 $x$ 的范围是从 $0$ 到 $1$，而 $y$ 的范围对于每个 $x$ 值是从 $x$ 到 $2x$。
步骤 3：确定围成区域 $D$ 的曲线
根据步骤 2 中的描述，区域 $D$ 由以下曲线围成：
- $y = x$（下界）
- $y = 2x$（上界）
- $x = 1$（右界）