单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 12.（2.0分）当x→0时，为无穷小量的是（） A. (1)/(x)sin(1)/(x) B. sin(1)/(x) C. xsin(1)/(x) D. (sin x)/(x)

为了确定当 $ x \to 0 $ 时，哪个选项是无穷小量，我们需要分析每个选项中函数的极限。无穷小量是指当 $ x \to 0 $ 时，函数的极限为0的量。 让我们逐一分析每个选项： **选项A: $ \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} $** 当 $ x \to 0 $ 时， $ \frac{1}{x} \to \infty $。而 $ \sin \frac{1}{x} $ 在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，因此 $ \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} $ 也 tends to $\infty$ 乘以一个有界量，所以它不 tends to 0。因此， $ \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} $ 不是无穷小量。 **选项B: $ \sin \frac{1}{x} $** 当 $ x \to 0 $ 时， $ \frac{1}{x} \to \infty $。而 $ \sin \frac{1}{x} $ 在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，所以它不 tends to 0。因此， $ \sin \frac{1}{x} $ 不是无穷小量。 **选项C: $ x \sin \frac{1}{x} $** 当 $ x \to 0 $ 时， $ x \to 0 $。而 $ \sin \frac{1}{x} $ 在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，所以 $ x \sin \frac{1}{x} $ 是 $0$ 乘以一个有界量，因此它 tends to 0。因此， $ x \sin \frac{1}{x} $ 是无穷小量。 **选项D: $ \frac{\sin x}{x} $** 当 $ x \to 0 $ 时， $ \sin x \to 0 $。而 $ \frac{\sin x}{x} $ 的极限是 $1$（这是微积分中的一个基本极限），所以 $ \frac{\sin x}{x} $ 不 tends to 0。因此， $ \frac{\sin x}{x} $ 不是无穷小量。 综上所述，当 $ x \to 0 $ 时，为无穷小量的是 $ x \sin \frac{1}{x} $。 答案是 $\boxed{C}$。