19/20 单选题df(tansqrt(x))=（）A. f'(tansqrt(x))(1)/(2sqrt(x))dxB. f'(tansqrt(x))sec^2sqrt(x)dxC. f'(tansqrt(x))(sec^2sqrt(x))/(2sqrt(x))dxD. f'(tansqrt(x))dx

本题考查复合函数函数的微分计算。解题的关键在于运用复合函数求导法则求出函数的导数，再根据微分的定义$dy = f^\prime(x)dx$来计算$df(\tan\sqrt{x})$。

下面我们来详细计算$df(\tan\sqrt{x}$：

1. 设$u = \tan\sqrt{x}$，则原函数$y = f(\tan\sqrt{x})$可看作是由$y = f(u)$与$u = \tan\sqrt{x}$复合而成的复合函数。
2. 根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，先对$y = f(u)$关于$u$求导，可得$\frac{dy}{du}=f^\prime(u)$，将$u = \tan\sqrt{x}$代回，得到$\frac{dy}{du}=f^\prime(\tan\sqrt{x})}$。
3. 接着对$u = \tan\sqrt{x}$关于$x$求导，设$t=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，则$u = \tan t$，$u$是由$u = \tan t$与$t = x^{\frac{1}{2}}$}})复合而成的函数。
   • 先对$u = \tan t$关于$t$求导，根据求导公式$(\tan x)^\prime=\sec^{2}x$，可得$\frac{du}{dt}=\sec^{2t$。
   • 再对$t = x^{\frac{1}{2}}$关于$x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。
   • 根据复合函数求导法则$\frac{du}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$，可得$\frac{du}{dx}=\sec^{2}t\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$，将$t = \sqrt{x}$代回，得到$\frac{du}{dx}=\frac{\sec^{2}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$。
4. 由复合函数$y = f(\tan\sqrt{x})$关于$x$的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{f^\prime(\tan\sqrt{x})}\cdot\frac{\sec^{2}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$。
5. 根据微分的定义为$dy = f^\prime(x)dx$，所以$df(\tan\sqrt{x}) = f^\prime(\tan\sqrt{x})\frac{\sec^{2}\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}dx$。