题目
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 2x1+ 4x2 + 4x3 + 6x4 = 0 -x1-2x2-x3 -2x4 =0A 零解 B 无解 C 非零解 D 唯一解
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
2x1+ 4x2 + 4x3 + 6x4 = 0
-x1-2x2-x3 -2x4 =0
A 零解
B 无解
C 非零解
D 唯一解
题目解答
答案
∵系数矩阵为1 2 3 4 1 2 3 4
2 4 4 6 ——> 0 0 -2 -2
-1 -2 -1 -2 0 0 2 2
1 2 0 1
——> 0 0 1 1
0 0 0 0
∴r=2<n=4
∴方程组有非零解
故选C
解析
步骤 1：写出系数矩阵
将方程组的系数写成矩阵形式，得到系数矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \]
步骤 2：化简系数矩阵
对系数矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵：
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定方程组的解
化简后的矩阵显示，方程组的秩为2，而未知数的个数为4，即 \( r = 2 < n = 4 \)，因此方程组有非零解。
将方程组的系数写成矩阵形式，得到系数矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \]
步骤 2：化简系数矩阵
对系数矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵：
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \]
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 3：确定方程组的解
化简后的矩阵显示，方程组的秩为2，而未知数的个数为4，即 \( r = 2 < n = 4 \)，因此方程组有非零解。