2.4 计算下列行列式:-|||-1+x 1 1 1-|||-(3) 1 1-x 1 1-|||-1 1 1+y 1-|||-1 1 1 1-y

考查要点：本题主要考查行列式的计算技巧，特别是利用行变换简化行列式的能力，以及观察矩阵结构对称性的能力。

解题核心思路：

1. 观察矩阵结构：矩阵非对角线元素均为1，对角线元素为$1+x$、$1-x$、$1+y$、$1-y$，具有对称性。
2. 行变换简化：通过将后三行减去第一行，引入零元素，使行列式展开更简便。
3. 展开计算：利用行列式的展开式，结合余子式计算，最终化简得到结果。

破题关键点：

• 正确识别矩阵结构：确认第一行第一列应为$1+x$（题目可能存在笔误）。
• 合理选择行变换：通过减法操作生成零元素，降低计算复杂度。

步骤1：行变换简化矩阵
将第二、三、四行分别减去第一行，得到新矩阵：
$\begin{pmatrix}1+x & 1 & 1 & 1 \\-x & -x & 0 & 0 \\-x & 0 & y & 0 \\-x & 0 & 0 & -y\end{pmatrix}$

步骤2：按第二行展开行列式
第二行有两个零元素，展开更简便：
$\begin{aligned}\text{行列式} &= (-x) \cdot (-1)^{2+1} \cdot M_{21} + (-x) \cdot (-1)^{2+2} \cdot M_{22} \\&= (-x) \cdot (-1) \cdot M_{21} + (-x) \cdot 1 \cdot M_{22}\end{aligned}$

步骤3：计算余子式

• $M_{21}$（去掉第二行第一列）：
  $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\0 & y & 0 \\0 & 0 & -y\end{vmatrix} = 1 \cdot (y \cdot (-y) - 0) = -y^2$

• $M_{22}$（去掉第二行第二列）：
  $\begin{vmatrix}1+x & 1 & 1 \\-x & y & 0 \\-x & 0 & -y\end{vmatrix} = y \cdot (-y) - 0 + (-y) \cdot [-(1+x)y + x] = -y^2 - x y^2$

步骤4：代入展开式
$\begin{aligned}\text{行列式} &= (-x) \cdot (-1) \cdot (-y^2) + (-x) \cdot (-y^2(1+x)) \\&= -x y^2 + x y^2(1+x) \\&= x^2 y^2\end{aligned}$