10. (10.0分) 如下曲面在点P(1,1,1)的法线方程匹配 第1组 1.z=xy 2.x^2+y^2+z^2=3 3.x-y+z=1 4.z=x^2+y^2-1 第2组A. (x-1)/(1)=(y-1)/(1)=(z-1)/(-1)B. (x-1)/(1)=(y-1)/(-1)=(z-1)/(1)C. (x-1)/(2)=(y-1)/(2)=(z-1)/(2)D. (x-1)/(2)=(y-1)/(2)=(z-1)/(-1)

本题主要考查曲面在某点处的法线方程的求解，解题的关键在于求出曲面在该点处的法向量，然后根据点向式方程得到法线方程。

1. 对于曲面$z = xy$

• 首先，将曲面方程转化为$F(x,y,z)=xy - z = 0$的形式。
• 然后，求$F(x,y,z)$的梯度$\nabla F$，根据梯度的计算公式$\nabla F = (\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$，分别对$x$、$y$、$z$求偏导数：
  • $\frac{\partial F}{\partial x}=y$；
  • $\frac{\partial F}{\partial y}=x$；
  • $\frac{\partial F}{\partial z}=-1$。
    所以$\nabla F = (y, x, -1)$。
• 接着，将点$P(1,1,1)$代入梯度$\nabla F$中，得到在该点处的法向量$\vec{n_1}=(1,1,-1)$。
• 最后，根据空间直线的点向式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量），可得该曲面在点$P(1,1,1)$处的法线方程为$\frac{x - 1}{1}=\frac{y - 1}{1}=\frac{z - 1}{-1}$，匹配选项A。

2. 对于曲面$x^2 + y^2 + z^2 = 3$

• 令$F(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0$。
• 求$F(x,y,z)$的梯度$\nabla F$：
  • $\frac{\partial F}{\partial x}=2x$；
  • $\frac{\partial F}{\partial y}=2y$；
  • $\frac{\partial F}{\partial z}=2z$。
    所以$\nabla F = (2x, 2y, 2z)$。
• 将点$P(1,1,1)$代入梯度$\nabla F$中，得到在该点处的法向量$\vec{n_2}=(2,2,2)$。
• 则该曲面在点$P(1,1,1)$处的法线方程为$\frac{x - 1}{2}=\frac{y - 1}{2}=\frac{z - 1}{2}$，匹配选项C。

3. 对于曲面$x - y + z = 1$

• 该曲面方程的法向量可以直接根据方程的系数得到，即$\vec{n_3}=(1,-1,1)$。
• 所以该曲面在点$P(1,1,1)$处的法线方程为$\frac{x - 1}{1}=\frac{y - 1}{-1}=\frac{z - 1}{1}$，匹配选项B。

4. 对于曲面$z = x^2 + y^2 - 1$

• 令$F(x,y,z)=x^2 + y^2 - z - 1 = 0$。
• 求$F(x,y,z)$的梯度$\nabla F$：
  • $\frac{\partial F}{\partial x}=2x$；
  • $\frac{\partial F}{\partial y}=2y$；
  • $\frac{\partial F}{\partial z}=-1$。
    所以$\nabla F = (2x, 2y, -1)$。
• 将点$P(1,1,1)$代入梯度$\nabla F$中，得到在该点处的法向量$\vec{n_4}=(2,2,-1)$。
• 则该曲面在点$P(1,1,1)$处的法线方程为$\frac{x - 1}{2}=\frac{y - 1}{2}=\frac{z - 1}{-1}$，匹配选项D。