题目

2、已知行列式D=}3&0&4&02&2&2&20&-7&0&05&3&-12&134

2、已知行列式$D=\begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0&-7&0&0\\5&3&-12&134\end{vmatrix}$，求：$M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}$

题目解答

答案

为了求解行列式 $D = \begin{vmatrix}3&0&4&0\\2&2&2&2\\0&-7&0&0\\5&3&-12&134\end{vmatrix}$ 的余子式 $M_{41} + M_{42} + M_{43} + M_{44}$，我们首先需要理解余子式的定义。余子式 $M_{ij}$ 是行列式中元素 $a_{ij}$ 所在的行和列 removed 后得到的子行列式。 余子式 $M_{41}$ 是元素 $a_{41} = 5$ 所在的行和列 removed 后得到的子行列式： \[ M_{41} = \begin{vmatrix}0&4&0\\2&2&2\\-7&0&0\end{vmatrix} \] 余子式 $M_{42}$ 是元素 $a_{42} = 3$ 所在的行和列 removed 后得到的子行列式： \[ M_{42} = \begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\0&0&0\end{vmatrix} \] 余子式 $M_{43}$ 是元素 $a_{43} = -12$ 所在的行和列 removed 后得到的子行列式： \[ M_{43} = \begin{vmatrix}3&0&0\\2&2&2\\0&-7&0\end{vmatrix} \] 余子式 $M_{44}$ 是元素 $a_{44} = 134$ 所在的行和列 removed 后得到的子行列式： \[ M_{44} = \begin{vmatrix}3&0&4\\2&2&2\\0&-7&0\end{vmatrix} \] 现在，我们分别计算这些余子式。 1. 计算 $M_{41}$: \[ M_{41} = \begin{vmatrix}0&4&0\\2&2&2\\-7&0&0\end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&0\end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\-7&0\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\-7&0\end{vmatrix} = -4 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot (-7)) = -4 \cdot 14 = -56 \] 2. 计算 $M_{42}$: \[ M_{42} = \begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\0&0&0\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&0\end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&0\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&0\end{vmatrix} = 0 \] 3. 计算 $M_{43}$: \[ M_{43} = \begin{vmatrix}3&0&0\\2&2&2\\0&-7&0\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\-7&0\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&0\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&-7\end{vmatrix} = 3 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot (-7)) = 3 \cdot 14 = 42 \] 4. 计算 $M_{44}$: \[ M_{44} = \begin{vmatrix}3&0&4\\2&2&2\\0&-7&0\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\-7&0\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&0\end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&-7\end{vmatrix} = 3 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot (-7)) + 4 \cdot (2 \cdot (-7) - 2 \cdot 0) = 3 \cdot 14 + 4 \cdot (-14) = 42 - 56 = -14 \] 最后，我们求和 $M_{41} + M_{42} + M_{43} + M_{44}$: \[ M_{41} + M_{42} + M_{43} + M_{44} = -56 + 0 + 42 - 14 = -28 \] 因此，答案是: \[ \boxed{-28} \]

解析

考查要点：本题主要考查行列式余子式的概念及计算，以及多个余子式求和的能力。

解题核心思路：

  1. 余子式定义：余子式$M_{ij}$是行列式中去掉第$i$行和第$j$列后剩余元素组成的子行列式。
  2. 逐个计算：分别求出第四行各元素对应的余子式$M_{41}, M_{42}, M_{43}, M_{44}$，再求和。
  3. 简化计算：观察子行列式的结构，优先展开含零元素的行或列，减少计算量。

破题关键点：

  • 定位子行列式：明确每个余子式对应的子行列式范围。
  • 灵活展开：利用行列式展开中零元素简化计算。

余子式$M_{41}$

去掉第四行和第一列，子行列式为：
$M_{41} = \begin{vmatrix}0&4&0\\2&2&2\\-7&0&0\end{vmatrix}$
展开第一行：
$M_{41} = 0 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&0\end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\-7&0\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\-7&0\end{vmatrix} = -4 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot (-7)) = -56$

余子式$M_{42}$

去掉第四行和第二列，子行列式为：
$M_{42} = \begin{vmatrix}3&4&0\\2&2&2\\0&0&0\end{vmatrix}$
第三行全为零，行列式值为$0$，故$M_{42} = 0$。

余子式$M_{43}$

去掉第四行和第三列，子行列式为：
$M_{43} = \begin{vmatrix}3&0&0\\2&2&2\\0&-7&0\end{vmatrix}$
展开第一行：
$M_{43} = 3 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\-7&0\end{vmatrix} = 3 \cdot (2 \cdot 0 - 2 \cdot (-7)) = 42$

余子式$M_{44}$

去掉第四行和第四列，子行列式为：
$M_{44} = \begin{vmatrix}3&0&4\\2&2&2\\0&-7&0\end{vmatrix}$
展开第一行：
$M_{44} = 3 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\-7&0\end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix}2&2\\0&-7\end{vmatrix} = 3 \cdot 14 + 4 \cdot (-14) = -14$

求和

$M_{41} + M_{42} + M_{43} + M_{44} = -56 + 0 + 42 - 14 = -28$