题目
证明 :(int )_(x)^1dfrac (dt)(1+{t)^2}=(int )_(1)^dfrac (1{x)}dfrac (dt)(1+{t)^2}(xgt 0).
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察积分的上下限
观察到左边的积分上下限都是1，这意味着积分的值为0，因为积分区间长度为0。
步骤 2：考虑右边积分的变量替换
令 $u = \frac{1}{t}$，则 $du = -\frac{1}{t^2}dt$，且当 $t = 1$ 时，$u = 1$；当 $t = \frac{1}{x}$ 时，$u = x$。
步骤 3：将右边积分转换为关于 $u$ 的积分
将 $t$ 替换为 $u$，得到 ${\int }_{1}^{\dfrac {1}{x}}\dfrac {dt}{1+{t}^{2}} = {\int }_{1}^{x}\dfrac {-\frac{1}{u^2}du}{1+\frac{1}{u^2}} = {\int }_{1}^{x}\dfrac {-du}{u^2+1}$。
步骤 4：观察右边积分的值
注意到右边积分的被积函数与左边积分的被积函数相同，但积分区间为 $[1, x]$，且积分变量的符号相反，因此右边积分的值为0。
观察到左边的积分上下限都是1，这意味着积分的值为0，因为积分区间长度为0。
步骤 2：考虑右边积分的变量替换
令 $u = \frac{1}{t}$，则 $du = -\frac{1}{t^2}dt$，且当 $t = 1$ 时，$u = 1$；当 $t = \frac{1}{x}$ 时，$u = x$。
步骤 3：将右边积分转换为关于 $u$ 的积分
将 $t$ 替换为 $u$，得到 ${\int }_{1}^{\dfrac {1}{x}}\dfrac {dt}{1+{t}^{2}} = {\int }_{1}^{x}\dfrac {-\frac{1}{u^2}du}{1+\frac{1}{u^2}} = {\int }_{1}^{x}\dfrac {-du}{u^2+1}$。
步骤 4：观察右边积分的值
注意到右边积分的被积函数与左边积分的被积函数相同，但积分区间为 $[1, x]$，且积分变量的符号相反，因此右边积分的值为0。