题目
int(2x-5)^5 dx =A. (1)/(8) (2x-5)^6 + CB. (1)/(12) (2x-5)^6 + CC. (1)/(8) (2x-5)^4 + CD. (1)/(12) (2x-5)^4 + C
$\int(2x-5)^{5} dx =$
A. $\frac{1}{8} (2x-5)^{6} + C$
B. $\frac{1}{12} (2x-5)^{6} + C$
C. $\frac{1}{8} (2x-5)^{4} + C$
D. $\frac{1}{12} (2x-5)^{4} + C$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{12} (2x-5)^{6} + C$
解析
步骤 1：换元
设 $t = 2x - 5$，则 $dt = 2dx$，即 $dx = \frac{1}{2}dt$。
步骤 2：代入积分
代入原积分得： \[ \int (2x-5)^5 dx = \int t^5 \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^5 dt \]
步骤 3：计算积分
计算积分得： \[ \frac{1}{2} \int t^5 dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^6}{6} + C = \frac{t^6}{12} + C \]
步骤 4：代回原变量
将 $t = 2x - 5$ 代回，得： \[ \frac{(2x-5)^6}{12} + C \]
设 $t = 2x - 5$，则 $dt = 2dx$，即 $dx = \frac{1}{2}dt$。
步骤 2：代入积分
代入原积分得： \[ \int (2x-5)^5 dx = \int t^5 \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^5 dt \]
步骤 3：计算积分
计算积分得： \[ \frac{1}{2} \int t^5 dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^6}{6} + C = \frac{t^6}{12} + C \]
步骤 4：代回原变量
将 $t = 2x - 5$ 代回，得： \[ \frac{(2x-5)^6}{12} + C \]