7.判断题【判断题】16301A.若事件A和B相互独立，则overline(A)与overline(B)不一定相互独立。( )A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查事件独立性的性质，特别是独立事件的补集是否保持独立性。

解题核心思路：
若事件 $A$ 和 $B$ 独立，则需验证其补集 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 是否也独立。关键在于利用独立事件的定义，通过概率运算推导两者的交集概率是否等于各自概率的乘积。

破题关键点：

• 独立事件的定义：$P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
• 补集的概率关系：$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$，$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$。
• 德摩根定律：$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$，从而通过 $P(A \cup B)$ 表达 $P(\overline{A} \cap \overline{B})$。

步骤1：计算 $\overline{A} \cap \overline{B}$ 的概率
根据德摩根定律，$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$，因此：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$

步骤2：展开 $P(A \cup B)$
利用概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
由于 $A$ 和 $B$ 独立，$P(A \cap B) = P(A)P(B)$，代入得：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$

步骤3：代入补集概率
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)] = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$

步骤4：计算 $P(\overline{A})P(\overline{B})$
$P(\overline{A})P(\overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$

结论：
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$，因此 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 一定独立。原题陈述错误。