lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)(x)

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换的应用，以及对三角函数在$x \rightarrow 0$时的展开式的理解。

解题核心思路：
当$x$趋近于$0$时，$\tan x$和$\sin x$都可以用泰勒展开或等价无穷小进行近似。通过将分子$\tan x - \sin x$进行变形，并结合$\sin x \sim x$和$1 - \cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2$的等价关系，可以将原式化简为易求极限的形式。

破题关键点：

1. 将$\tan x - \sin x$分解为$\sin x \cdot \dfrac{1 - \cos x}{\cos x}$。
2. 利用等价无穷小替换简化分子和分母中的高阶无穷小项。

步骤1：分解分子
将$\tan x - \sin x$变形为：
$\tan x - \sin x = \sin x \cdot \dfrac{1}{\cos x} - \sin x = \sin x \cdot \dfrac{1 - \cos x}{\cos x}.$

步骤2：代入原式并化简
原式变为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x \cdot \dfrac{1 - \cos x}{\cos x}}{x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x (1 - \cos x)}{x \cos x}.$

步骤3：应用等价无穷小替换
当$x \rightarrow 0$时：

• $\sin x \sim x$，
• $1 - \cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2$，
• $\cos x \rightarrow 1$。

代入后分子为：
$\sin x (1 - \cos x) \sim x \cdot \dfrac{1}{2}x^2 = \dfrac{1}{2}x^3,$
分母为：
$x \cos x \sim x \cdot 1 = x.$

步骤4：计算极限
化简后的表达式为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{1}{2}x^3}{x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{2}x^2 = 0.$