题目
lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)(x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：使用等价无穷小替换
当$x$趋近于$0$时，$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$1-\cos x\sim \dfrac {1}{2}{x}^{2}$。这些等价无穷小关系可以帮助我们简化极限的计算。
步骤 2：将原式进行变形
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-\sin x}{x}$ $=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x(1-\cos x)}{x\cos x}$。这里我们利用了$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$的恒等式。
步骤 3：代入等价无穷小
将$1-\cos x\sim \dfrac {1}{2}{x}^{2}$代入上式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x\cdot \dfrac {1}{2}{x}^{2}}{x\cos x}$。
步骤 4：简化表达式
进一步简化得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x\cdot \dfrac {1}{2}{x}^{2}}{x\cos x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{3}}{x\cos x}$。
步骤 5：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{3}}{x\cos x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{2}}{\cos x} = \dfrac {1}{2}\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\cdot \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{\cos x} = \dfrac {1}{2}\cdot 0\cdot 1 = 0$。
当$x$趋近于$0$时，$\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$1-\cos x\sim \dfrac {1}{2}{x}^{2}$。这些等价无穷小关系可以帮助我们简化极限的计算。
步骤 2：将原式进行变形
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-\sin x}{x}$ $=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x(1-\cos x)}{x\cos x}$。这里我们利用了$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$的恒等式。
步骤 3：代入等价无穷小
将$1-\cos x\sim \dfrac {1}{2}{x}^{2}$代入上式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x\cdot \dfrac {1}{2}{x}^{2}}{x\cos x}$。
步骤 4：简化表达式
进一步简化得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x\cdot \dfrac {1}{2}{x}^{2}}{x\cos x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{3}}{x\cos x}$。
步骤 5：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{3}}{x\cos x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{2}}{\cos x} = \dfrac {1}{2}\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\cdot \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{\cos x} = \dfrac {1}{2}\cdot 0\cdot 1 = 0$。