8.计算下列各定积分:-|||-(12) (int )_(0)^2f(x)dx, 其中 f(x)= {x)^2,xgt 1 .

本题考查分段函数的定积分计算。解题思路是根据定积分的可加性，将积分区间$[0,2]$按照分段函数$f(x)$的分段点$x = 1$拆分成两个子区间$[0,1]$和$[1,2]$，分别在这两个子区间上对对应的函数表达式进行定积分计算，最后将两个定积分的结果相加。

步骤一：根据定积分可加性拆分积分

已知$f(x)=\begin{cases}x + 1, & x\leqslant 1\\\dfrac{1}{2}x^2, & x\gt 1\end{cases}$，积分区间为$[0,2]$，根据定积分的可加性$\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$（其中$a\lt b\lt c$），可得：
$\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}(x + 1)dx+\int_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx$

步骤二：计算$\int_{0}^{1}(x + 1)dx$

根据定积分的基本公式$\int x^n dx=\dfrac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对$\int_{0}^{1}(x + 1)dx$进行计算：
$\int_{0}^{1}(x + 1)dx=\int_{0}^{1}xdx+\int_{0}^{1}1dx$
$=\left[\dfrac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1}+\left[x\right]_{0}^{1}$
将上限$1$和下限$0$代入可得：
$\left(\dfrac{1}{2}\times 1^2-\dfrac{1}{2}\times 0^2\right)+(1 - 0)=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$

步骤三：计算$\int_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx$

同样根据定积分的基本公式，对$\int_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx$进行计算：
$\int_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx=\dfrac{1}{2}\int_{1}^{2}x^2dx$
$=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_{1}^{2}$
将上限$2$和下限$1$代入可得：
$\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{3}\times 2^3-\dfrac{1}{3}\times 1^3\right)=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{7}{3}=\dfrac{7}{6}$

步骤四：将两个定积分结果相加

$\int_{0}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}(x + 1)dx+\int_{1}^{2}\dfrac{1}{2}x^2dx=\dfrac{3}{2}+\dfrac{7}{6}$
通分可得：$\dfrac{9}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{16}{6}=\dfrac{8}{3}$