[题目]设 f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 . 则f(x)在 x=1 处的(-|||-)-|||-A.左、右导数都存在-|||-B.左导数存在,右导数不存在-|||-C.左导数不存在,右导数存在-|||-D.左、右导数都不存在

本题考查分段函数在分段点处的导数存在性判断，核心在于分别计算左导数和右导数的极限是否存在。关键点在于：

1. 左导数：当$x \to 1^-$时，使用$x \leq 1$时的表达式$f(x) = \dfrac{2}{3}x^3$；
2. 右导数：当$x \to 1^+$时，使用$x > 1$时的表达式$f(x) = x^2$；
3. 通过代数化简或洛必达法则判断极限是否存在。

左导数计算

当$x \to 1^-$时，函数为$f(x) = \dfrac{2}{3}x^3$，左导数定义为：
$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{2}{3}}{x - 1}$
分子分解因式：
$\dfrac{2}{3}(x^3 - 1) = \dfrac{2}{3}(x - 1)(x^2 + x + 1)$
约分后得：
$f'_-(1) = \dfrac{2}{3} \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2$
左导数存在，值为2。

右导数计算

当$x \to 1^+$时，函数为$f(x) = x^2$，右导数定义为：
$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \dfrac{2}{3}}{x - 1}$
直接代入$x = 1$，分子为$1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$，分母趋近于0。此时：

• 当$x \to 1^+$时，分母趋近于0的正方向，分子为正数，极限为$+\infty$；
• 因此，右导数不存在。