函数 f(x, y, z)= ln (x + 2y + 3z)在点 (1, 1, 1)处沿 y 轴正向的方向导数是 ()A. (1)/(6) B. (1)/(2) C. (1)/(3) D. 1

步骤 1：计算梯度
函数 $f(x, y, z) = \ln(x + 2y + 3z)$ 的梯度 $\nabla f$ 为：
$$
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
$$
其中，$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x + 2y + 3z}$，$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{x + 2y + 3z}$，$\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{3}{x + 2y + 3z}$。
步骤 2：计算梯度在点 $(1, 1, 1)$ 处的值
将点 $(1, 1, 1)$ 代入梯度的表达式中，得到：
$$
\nabla f(1, 1, 1) = \left( \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6} \right) = \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \right)
$$
步骤 3：计算方向导数
方向导数是梯度与方向向量的点积。沿 $y$ 轴正向的方向向量为 $(0, 1, 0)$，因此方向导数为：
$$
\nabla f(1, 1, 1) \cdot (0, 1, 0) = \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \right) \cdot (0, 1, 0) = \frac{1}{3}
$$