例40、(2004年数一)已知f'(e^x)=xe^-x，且f(1)=0，则f(x)=______.

本题考查不定积分的计算计算以及利用初始条件确定积分常数，解题的关键在于通过换元法求出函数的导数表达式，再对导数进行积分积分得到原函数，最后根据根据给定的初始条件确定积分常数。。

1. 求出$f^\prime(x)$的表达式：
   • 令$e^x = t$，根据对数函数与指数函数的关系，可得$x = \ln t$。
   • 将$e^x = t$ $t$和$x = \ln t$代入已知条件$f^\prime(e^x) = xe^{-x}$ $x$中，得到$f^\prime(t) = \ln t \cdot e^{-\ln t}$。
   • 根据对数运算法则$a^{\log_a b}=b$，可得$e^{-\ln t}=e^{\ln t^{-1}= \frac{1}{t}$，所以$f^\prime(t) = \frac{\ln t}{t}$。
   • 因为函数的自变量可以用任意字母表示，所以$f^\prime(x) = \frac{\ln x}{x}$。
2. 计算$f(x)$的表达式：
   • 对$f^\prime(x) = \frac{\ln x}{x}$进行积分，即$f(x) = \int \frac{\ln x}{x} \, dx$。
   • 令$u = \ln x$，对$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime)=\frac{1}{x}$，可得$du = \frac{1}{x} \, dx$。
   • 将$u = \ln x$和$du = \frac{1}{x} \, dx$代入积分式中，得到$f(x) = \int u \, du$。
   • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，对$\int u \, du$进行计算，可得$\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C$。
   • 再将$u = \ln x$代回，得到$f(x) = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$。3. 确定积分常数$C$：
   • 已知$f(1) = 0$，将，$1)，即\(\frac{(\ln 1)^2}{2} + C = 0$。
   • 因为$\ln 1)=0，所以\(0 + C = 0$，解得$C = 0$。
   • 将$C = 0$代入$f(x) = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$中，得到$f(x) = \frac{1}{2} (\ln x)^2$。