[题目]计算: +(a)^2+(a)^3+(a)^4+... +(a)^n

考查要点：本题主要考查等比数列的求和公式及其应用，需要分情况讨论公比是否为1的情况。

解题核心思路：

1. 识别数列类型：题目中的表达式是首项为$a$、公比为$a$的等比数列求和。
2. 分情况讨论：
   • 当$a=1$时，所有项均为1，直接求和；
   • 当$a \neq 1$时，利用等比数列求和公式计算。
3. 关键公式：
   • 等比数列求和公式：$S_n = \dfrac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$（$r \neq 1$）；
   • 错位相减法推导公式。

步骤1：判断公比是否为1

• 若$a = 1$，则数列变为$1 + 1 + \cdots + 1$（共$n$项），和为$n$。
• 若$a \neq 1$，则使用等比数列求和公式。

步骤2：错位相减法推导公式
设$S_n = a + a^2 + a^3 + \cdots + a^n$，两边同乘$a$得：
$aS_n = a^2 + a^3 + \cdots + a^{n+1}$
两式相减得：
$(1 - a)S_n = a - a^{n+1}$
解得：
$S_n = \dfrac{a(1 - a^n)}{1 - a}$

最终结果：
$S_n = \begin{cases} n, & a = 1, \\\dfrac{a(1 - a^n)}{1 - a}, & a \neq 1.\end{cases}$