题目
(2)设 f(x)= 0,dfrac {1)(2)leqslant xlt 1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解周期函数的性质
由于s(x)是f(x)的以2为周期的正弦级数展开式的和函数，这意味着s(x)在每个周期内重复其值。因此，$s(x) = s(x + 2k)$，其中k是整数。
步骤 2：确定s(x)在周期内的值
根据f(x)的定义，当$0 \leqslant x < \frac{1}{2}$时，f(x) = x；当$\frac{1}{2} \leqslant x < 1$时，f(x) = 0。由于s(x)是f(x)的正弦级数展开式的和函数，s(x)在每个周期内将重复f(x)的值。
步骤 3：计算$s(\frac{7}{4})$
由于s(x)是周期为2的函数，我们可以将$\frac{7}{4}$减去一个周期长度2，得到$\frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}$。由于s(x)是周期函数，$s(\frac{7}{4}) = s(-\frac{1}{4})$。根据f(x)的定义，当$x = -\frac{1}{4}$时，f(x)的值等于$-\frac{1}{4}$，因为f(x)在$0 \leqslant x < \frac{1}{2}$区间内是线性的，且周期函数的性质使得s(x)在$-\frac{1}{4}$处的值与f(x)在$\frac{7}{4}$处的值相同。
由于s(x)是f(x)的以2为周期的正弦级数展开式的和函数，这意味着s(x)在每个周期内重复其值。因此，$s(x) = s(x + 2k)$，其中k是整数。
步骤 2：确定s(x)在周期内的值
根据f(x)的定义，当$0 \leqslant x < \frac{1}{2}$时，f(x) = x；当$\frac{1}{2} \leqslant x < 1$时，f(x) = 0。由于s(x)是f(x)的正弦级数展开式的和函数，s(x)在每个周期内将重复f(x)的值。
步骤 3：计算$s(\frac{7}{4})$
由于s(x)是周期为2的函数，我们可以将$\frac{7}{4}$减去一个周期长度2，得到$\frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}$。由于s(x)是周期函数，$s(\frac{7}{4}) = s(-\frac{1}{4})$。根据f(x)的定义，当$x = -\frac{1}{4}$时，f(x)的值等于$-\frac{1}{4}$，因为f(x)在$0 \leqslant x < \frac{1}{2}$区间内是线性的，且周期函数的性质使得s(x)在$-\frac{1}{4}$处的值与f(x)在$\frac{7}{4}$处的值相同。