函数 f(x,y)=} (xy)/(sqrt(x^2+y^2)), & x^2+y^2neq0, 0, & x^2+y^2=0. 在点 (0,0) 处表述不正确的为 ( ).A: 极限为零B: 连续C: 可导D: 可微

我们来分析函数：

$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, & x^2 + y^2 \ne 0, \\0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases}$

在点 $(0, 0)$ 处的性质，判断选项 A、B、C、D 中哪一个表述不正确。

第一步：判断极限是否存在，是否为零（对应选项 A）

我们先考察极限：
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

我们尝试用极坐标变换来分析：

令：
$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r \to 0^+$

则：
$f(x, y) = \frac{r\cos\theta \cdot r\sin\theta}{\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta}} = \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta}{r} = r \cos\theta \sin\theta$

因为 $|\cos\theta \sin\theta| \le \frac{1}{2}$，所以：
$|f(x, y)| = |r \cos\theta \sin\theta| \le \frac{r}{2} \to 0 \quad (r \to 0)$

所以：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$

而 $f(0,0) = 0$，因此极限存在且为 0。

✅ 选项 A：极限为零 —— 正确

第二步：判断函数在 $(0,0)$ 是否连续（对应选项 B）

连续的定义是：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)$

我们已经得出极限为 0，且 $f(0,0) = 0$，所以函数在 $(0,0)$ 处连续。

✅ 选项 B：连续 —— 正确

第三步：判断函数在 $(0,0)$ 是否可导（这里“可导”通常指偏导数存在）（对应选项 C）

我们计算偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$。

偏导数 $f_x(0,0)$：

$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0,0)}{h}$

注意：$f(h, 0) = \frac{h \cdot 0}{\sqrt{h^2 + 0}} = 0$，$f(0,0) = 0$

所以：
$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

同理，计算 $f_y(0,0)$：

$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0,0)}{k} = \frac{0 - 0}{k} = 0$

所以两个偏导数都存在，且为 0。

✅ 选项 C：可导（指偏导数存在）—— 正确

> 注：在多元函数中，“可导”有时有歧义。严格来说，“可导”应指“可微”，但有时也泛指偏导数存在。但本题中，若“可导”仅指偏导数存在，则正确；若指“可微”，则需进一步分析。我们继续看 D。

第四步：判断函数在 $(0,0)$ 是否可微（对应选项 D）

可微的定义是：若函数在 $(0,0)$ 可微，则必须满足：

$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

代入已知：

• $f(0,0) = 0$
• $f_x(0,0) = 0$, $f_y(0,0) = 0$

所以：
$\text{极限} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\frac{hk}{\sqrt{h^2 + k^2}}}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk}{h^2 + k^2}$

我们来分析这个极限是否存在，是否为 0。

令：
$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk}{h^2 + k^2}$

再次用极坐标：$h = r\cos\theta$, $k = r\sin\theta$，则：

$\frac{hk}{h^2 + k^2} = \frac{r^2 \cos\theta \sin\theta}{r^2} = \cos\theta \sin\theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta)$

这个表达式依赖于 $\theta$，例如：

• 沿 $\theta = 0$：值为 0
• 沿 $\theta = \frac{\pi}{4}$：$\sin(2\theta) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$，值为 $\frac{1}{2}$

所以极限依赖于路径，极限 不存在。

因此：
$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x h - f_y k}{\sqrt{h^2 + k^2}} \text{ 不存在（不为 0）}$

所以函数在 $(0,0)$ 不可微。

❌ 选项 D：可微 —— 不正确

结论

题目问的是：“表述不正确的为”哪一个？

• A：极限为零 —— 正确
• B：连续 —— 正确
• C：可导 —— 若理解为偏导数存在，则正确
• D：可微 —— 错误

在多元函数中，“可导”有时被误用。严格来说：

• 偏导数存在 ≠ 可微
• 可微 是更强的条件

但在一些教材或语境中，“可导”仅指偏导数存在。本题中，C 说“可导”，若指偏导数存在，则正确；而 D “可微”是明确的术语，要求更高。

由于函数偏导数存在但不可微，所以：

✅ A、B、C 正确
❌ D 不正确

答案：\boxed{D}