第10章 稳恒磁场10.1 基本要求1掌握磁感应强度的概念。理解毕奥—萨伐尔定律。能计算一些简单问题中的磁感应强度。掌握磁通量的计算方法.2理解反映稳恒磁场性质的高斯定理和安培环路定理,理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。3理解安培力和洛仑兹力公式。了解霍尔效应。了解磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的磁力和磁力矩。能分析点电荷在均匀磁场中的受力和运动。4了解磁介质对磁场的影响.了解铁磁质的特性。了解各向同性介质中H和B之间的关系。了解磁介质中的安培环路定理。10.2 基本概念1磁感应强度:表征磁场性质的矢量。磁场中某点处的磁感应强度的方向与该点处小磁针平衡时N极所指的方向相同,磁感应强度的大小。2磁通量:3磁矩:(线圈平面的正法线方向与电流成右手螺旋关系)4磁力矩:5霍耳效应:将一载流导体薄片置于均匀磁场中,当电流与磁场方向垂直时,则可在垂直于磁场和电流的方向上(即薄片的上、下两底面间)产生电势差。6磁场强度:磁场强度是一个描述磁场性质的辅助量。在各向同性均匀磁介质中,它与磁感应强度成正比,即。10.3 基本规律1毕奥—萨伐尔定律:2洛仑兹力:3安培力:4磁场的高斯定理:。高斯定理说明,磁场是无源场。5安培环路定理:在真空中的磁场中,。当有介质存在时,.安培环路定理表明,磁场是涡旋场。10.4 学习指导在学习时要注意认真理解磁感应强度B的概念,切实弄懂磁场的性质。学习毕奥—萨伐尔定律(包括根据这一定律导出的诸多磁场计算公式)时,必须要认真弄清式中各量的物理意义。不可似懂非懂地乱套公式。学习安培环路定理时,除了要理解式中各量的物理意义外,还须理解电流代数和为零时,闭合曲线内未必无电流;磁感强度的环流为零时,闭合曲线上各点的磁感强度也未必处处为零。磁通量的概念及计算在后续内容学习中均很重要,因此,学习时必须给予足够的重视。 (2)由可知 10.29 螺绕环中心周长=10cm,环上线圈匝数=200匝,线圈中通有电流=100 mA.(1)当管内是真空时,求管中心的磁场强度和磁感应强度;(2)若环内充满相对磁导率=4200的磁性物质,则管内的和各是多少?

解: (1)由安培环路定理

可得

(2)磁场强度的环流与磁介质无关,仍可得



于是介质中磁感强度

10.30一根无限长同轴电缆由半径为R的长导线和套在它外面的内半径为R、外半径为R的同轴导体圆筒组成,中间充满磁导率为的各向同性均匀非铁磁绝缘材料,如图所示,传导电流I沿导线向右流去,由圆筒向左流回,在它们的截面上电流都是均匀分布的,求同轴电缆内外的磁感应强度大小的分布.

解 由电流的中心轴对称分布可知,磁场强度及磁感强度都是中心轴对称分布的,即在垂直于轴线的同心圆上各点的及的大小均相等,故可取这样的同心圆作为积分环路.

(1) 中心导线内部,对积分环路应用高斯定理可得

解得

(2) 在磁介质内部,环路定理可表示为

因此,介质中的磁感强度

(3)在外层导体圆筒内,由环路定理可知

因此,导体中磁感强度

(4)在电缆之外的区域,则有

计算载流导线所受的磁力时,一般应先计算电流元受到的磁力,若各电流元的受力方向不同,则可将安培力正交分解,然后再积分求磁力的分量。使用安培力公式应该注意,式中的磁感强度系指外磁场的磁感强度,不包括受力的电流元在该处产生的磁感强度。

学习洛仑兹力要注意,力的方向是由运动电荷的符号、运动电荷的速度和外磁场的方向共同决定的。此外,由于洛仑兹力恒垂直运动电荷的速度,因此,洛仑兹力对运动电荷不作功。这意味着运动电荷的速度大小不会因为受到洛仑兹力而改变。

1磁感应强度的计算

(1)利用毕奥—萨伐尔定律与磁感应强度的叠加原理相结合来求解。利用毕奥—萨伐尔定律求解时要注意统一变量,这样才能进行积分;其次是应通过投影使矢量积分变为标量积分。

(2)利用安培环路定理来计算。求解时必须先对磁场是否具有对称性进行必要的分析,并要注意选择好积分回路:一是须使待求场点位于积分回路上;二是要使含有的线积分易于算出来。

2几种载流导体的磁场

利用毕奥—萨伐尔定律可以导出几种载流导体磁场的分布,这些结果均可作公式应用。

(1)有限长直载流导体的磁感应强度的大小:式中,为

场点到载流直导线的距离,、分别为直导线始、末两端到场点的连线与电流方向的夹角。

(2)长载流直导线(无限长载流直导线)的磁感应强度的大小:

(3)载流圆导线(圆电流)轴线上的磁感应强度的大小:,式中x

为场点至圆心的距离,R为圆半径。当x=0,即场点位于圆心处时,则有。如果载流导线为一段圆心角为θ的圆弧,则圆心处的磁感应强度的大小。

(4)载流长直螺线管内的磁感应强度的大小:

例1 如图所示,、为长直导线,为圆心在点的一段圆弧形导线,其半径为.若通以电流,求点的磁感应强度.

解:点磁场由、、三部分电流产生.

其中

通电导线在点产生的磁场为 .

通电导线在点产生的磁场为,方向垂直向里.

通电导线段在点产生磁场为

方向垂直向里.

所以,方向垂直向里.

例2 在半径为的长直圆柱形导体内部,与轴线平行地挖成一半径为的长直圆柱形空腔,两轴间距离为,且>,横截面如图所示.现在电流沿导体管流动,电流均匀分布在管的横截面上,而电流方向与管的轴线平行.求:

(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小;

(2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小.

解:电流均匀分布在导体管横截面上,因此其电流密度为,于是如图所示空腔导体上的电流,可视作为半径分别为和的实心圆柱导体,其电流密度均为,但两导体上电流的流向相反的电流和这两根电流叠加而成。这相当于在原导体空腔处补上电流密度相同、电流方向相反的两束电流,这时空间各点磁场可看作半径为、电流均匀分布在横截面上的圆柱导体产生的磁场,和半径为、电流均匀分布在横截面上的圆柱导体产生的磁场两者的叠加.

由以上分析知, 。

(1)圆柱轴线上的点的大小:

由安培环路定理可得,

电流在点产生的磁感强度大小;

电流在点产生的磁感强度大小

二者叠加,得点磁感强度大小

(2)空心部分轴线上点的大小:

电流在点产生的磁感强度大小,

电流在点产生的磁感强度大小

二者叠加,得点的磁感强度大小

例3 两平行长直导线相距=40cm,每根导线载有电流==20A,如图所示.求:

(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点处的磁感应强度;

(2)通过图中矩形线框面积的磁通量.(==10cm,=25cm).

解:(1)与各自在点激发的磁场方向均向外,二者叠加得

T

方向垂直纸面向外.

(2)如图,取面元,面元上的磁通量

例4 如图所示,长直电流附近有一等腰直角三角形线框,通以电流,二者

共面.求△的各边所受的磁力.

解:

例4图

方向垂直向左

方向垂直向下,大小为

同理 方向垂直向上,大小

因为

所以

10.5习题详解

10.1 通有电流 I 的单匝环型线圈,将其弯成 N = 2 的两匝环型线圈,导线长度和电流不变,问:线圈中心O点的磁感应强度 B 和磁矩 m是原来的多少倍?( )

(A)4倍,1/4倍 (B)4倍,1/2倍 (C)2倍,1/4倍 (D)2倍,1/2倍

解 正确答案(B)

圆电流圆心处磁感强度,圆电流的磁矩,由题意可知,,,因而,。

10.2 用金属丝作的圆形和正方形回路中,圆的直径和正方形的边长均为,当通过相等的电流时,它们在各自的中心产生的磁感强度之比为 ( )

  (A) 1 (B) (C)  (D )

解 正确答案(D)

圆形电流中心的磁感强度,正方形电流中心的磁感强度。因而答案选(D)。

10.3无限长的直导线在 A 点弯成半径为 R的圆环,则当通以电流 I 时,圆心 O 处的磁感应强度大小等于( )

(A) 0I / 2R

(B) 0I / 4R

(C)

(D)

解 正确答案(C )

可将电流看成是一根无限长的直线电流,和一圆形电流两者组合而成的,无限长直线电流在O 处的磁感应强度大小为,方向垂直向外。圆形电流在O 处的磁感应强度大小为,方向垂直向里。二者叠加即可知正确答案为(C )

10.4在图 (a) 和 (b) 中各有一半径相同的圆形回路、,圆周内有电流、,其分布相同,且均在真空中,但在 (b) 图中回路外有电流,、为两圆形回路上的对应点,则( )

(A)=,且B=B

(B)≠,且B=B

(C)=,且B≠B

(D)≠,且Bp1≠Bp2

解 正确答案(C)

由磁场中的安培环路定律,积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分;但同样会改变回路上各点的磁场分布。因而正确答案为(C)。

10.5两个电子a和b同时由电子枪射出,垂直进入均匀磁场,速率分别为和,经磁

场偏转后,它们是( )

(A)a、b同时回到出发点

(B) a、b都不会回到出发点

(C) a先回到出发点

(D) b先回到出发点

解 正确答案(A)

带电粒子垂直进入均匀磁场后,作匀速圆周运动;回旋周期,说明周期与速度无关,两电子在同一磁场中运动的周期相同,因而选择答案(A)。

10.6通有电流I的正方形线圈MNOP,边长为a ,放置在均匀磁场中,已知磁感应强度B沿Z轴方向,则线圈所受的磁力矩M为( )

(A) I aB ,沿y负方向

(B) I aB/2 ,沿z 方向

(C) I aB ,沿y方向

(D) I a2 B/2 ,沿y方向

解 正确答案(D)

线圈受到的磁力矩,大小为,方向沿y方向。

10.7在磁感应强度为的均匀磁场中作一半径为的半球面,边线所在平面的法线方向单位矢量与的夹角为,则通过半球面的磁通量为(    )

(A); (B);

(C) ; (D)。

解 正确答案(D)

作半径为的圆面与半球面构成一闭合曲面,根据磁场的高斯定理,磁感线是闭合曲线,穿过闭合曲面的磁通量为零,即穿进半球面的磁通量等于穿出圆面的磁通量;,,故,所以选择正确答案(D)。

10.8在抗磁质中某一点的磁场强度的大小为,磁感应强度的大小为,则(    )

(A)

(B)

(C)

(D)

解 正确答案(B)

对抗磁质来说,其相对磁导率;磁感强度与磁场强度的关系有,所以

,故选择正确答案为(B)

10.9 电子以速率与磁感应线成交角飞入均匀磁场中,磁场的磁感强度,那么作用在电子上的洛伦兹力________________。

解

10.10在真空中有一半径为的3/4园弧形的导线,其中通以稳恒电流I,导线置于均匀外磁场B中,且B与导线所在平面垂直,则该圆弧载流导线bc所受的磁力大小为 ,方向为__________________.

解 , 垂直于斜向下

在均匀磁场中,任意形状的平面载流导线所受的磁场力,与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力是相等的。该磁场力大小,磁场力方向为垂直于斜向下。

10.11一同轴电缆由两同轴薄壁金属圆筒构成,内筒半径为,外筒半径为,两筒间绝缘介质的相对磁导率为。若电流自内筒流去,外筒流回,则同轴电缆外空间的磁场强度大小是__________________.

解

过电缆外空间中任意一点,作与电缆同心的圆环,该圆环所在平面与电缆轴线垂直;由电流分布的中心轴对称性可知,该圆环上各点磁场强度处处相等,方向沿圆环的切线。由磁介质中的环路定理:,可知,得。

10.12如图所示,真空中有两圆形电流I 和 I和三个环路LLL,则安培环路定律的表达式为= , = , = .

解 , ,0

环路L中只有电流穿过,且电流方向与环路L绕行方向不满足右手螺旋关系,故;

环路中有电流和同时穿过,且穿过的电流方向与回路绕行方向之间满足右手螺旋关系,故;

电流并没有穿过以为边界的任意曲面,故。

10.13在一半径R =1.0cm 的无限长半圆柱面形金属薄片中,自上而下地有I =5.0A的电流通过,试求圆柱轴线上任意一点P的磁感应强度B的大小及方向.

解 可将半圆柱形面电流分割成宽度的细电流,细电流与半圆柱面的轴线平行,将细电流在轴线上的磁感强度叠加,即可求得P点磁感强度。

长细线中的电流,它在P点激发的磁感强度的大小为

其方向在平面内,且与由引向点O的半径垂直,如图(b)所示。由对称性可知,半圆柱面上细电流在P点产生的磁感强度叠加后,得

则P点总的磁感强度大小

方向沿Z轴

10.14一根无限长导线弯成如图形状,设各线段都在同一平面内(纸面内),其中段是半径为R的四分之一圆弧,其余为直线。导线中通有电流,求图中点处的磁感应强度。

解 由于点在与的延长线上,所以段与段通电导线在点产生的磁感强度;

段与段通电导线在点产生的磁场方向相同,均为垂直向里,大小分别为

点磁感应强度为

方向向里。

10.15将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图所示的形状,求D点的磁感应强度的大小。

解 将整个通电导线回路分成几段分别考虑。

其中圆弧通电导线在D点产生的磁感强度大小为

方向垂直向里;

延长线通过D点的两小段电流在D点产生的磁感强度均为零;

和两段电流在D点产生的磁感强度大小分别为

两者方向均垂直向里;

由磁场叠加原理可得D点磁感强度为

方向垂直向里。

10.16设半径为的带电薄圆盘的电荷面密度为,并以角速率绕通过盘心垂直盘面的轴转动,求圆盘中心处的磁感强度。

解 设圆盘带正电,且绕轴O逆时针旋转,在圆盘上取一半径分别为和的细环带。此环带的电荷为。考虑到圆盘以角速度绕轴O旋转,即转速为。于是此转动环带相当的圆电流为

因此,该细环带在盘心O处的磁感强度的值为

于是整个圆盘转动时,在盘心O处的磁感强度的值为

已设圆盘带正电,故的方向垂直向外。

10.17 已知均匀磁场,其磁感应强度,方向沿x轴方向,如图所示,试求:

(1) 通过图中面的磁通量;

(2) 通过图中面的磁通量;

(3) 通过图中面的磁通量。

解(1)= B×S = 2×0.4×0.3 = 0.24Wb

(2) = 0

(3) = = 0.24Wb

10.18电流I均匀地流过半径为R的圆柱形长直导线,试计算长度导线内的磁场通过图中

所示剖面的磁通量。

解 电流沿轴向均匀流过导体,故其磁场必然呈轴对称分布,即在与导线同轴的圆柱面上的各点,大小相等,方向与电流成右手螺旋关系.

在导体内部,围绕轴线取同心圆为环路,取其绕向与电流成右手螺旋关系,根据安培环路定理,有

其中,因而

在剖面上磁感强度分布不均匀,沿轴线方向在剖面上取面元,考虑到面元上各点的相同,故穿过面元的磁通量,积分可得穿过剖面的磁通量

10.19有一无限长通有电流、宽度为a、厚度不计的扁平铜片,电流I在铜片上均匀分布,试求在铜片外与铜片共面、离铜片右边缘b处的P点 (如图所示) 的磁感应强度。

解 以P点为原点,向左作轴,在面上距点处取宽的长直细窄条,其上的电流为

该电流元在点产生的磁感强度大小为

铜片上所有电流元在点产生的磁感强度方向均垂直纸面向里,故铜片上总电流在点的磁感强度大小为

方向垂直纸面向里

10.20 图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面,内、外半径分别为,,导体内载有沿轴线方向的电流,且均匀地分布在管的横截面上.设导体的磁导率,试

证明导体内部各点的磁感应强度的大小由下式给出:

解:由于电流的分布是关于圆管中心轴线对称分布的,因此磁场的分布也是中心轴对称的,即在同心圆上各点的磁感强度大小相等.

在圆管导体内取半径为的同心圆作闭合回路.则的环流为

环路内所包围的电流的代数和为

则由磁场的环路定理可得

10.21设有一质量为的电子射入磁感强度为的均匀磁场中,已知射入时的速度方向与磁感强度方向之间夹角为,试证电子沿螺旋线运动一周前进的距离(螺距)为。

证 在磁场方向前进一螺距所需时间

在垂直磁场方向的平面内,电子作匀速圆周运动的周期

由两式可得

10.22如图所示,有一电子以初速度沿与均匀磁场成角度的方向射入磁场空间. 试证明当图中的距离

时,(其中为电子质量,为电子电量的绝对值,…),电子经过一段飞行后恰好打在图中的点.

证

其在垂直于磁场方向的平面内做圆周运动的周期

沿场强方向的螺距

正好电子运动经过点

10.23 利用霍尔元件可以测量磁场的磁感强度。设一霍尔元件用金属材料制成,其厚度为0.15mm,载流子数密度为。将霍尔元件放入待测磁场中,测得霍尔电压为,电流为。求此时待测磁场的磁感强度。

解 由霍尔效应中霍尔电压与电流、磁感强度的关系得

10.24 求图示的长度为,电流为的载流导线在无限长直电流所产生的磁场中所受的安培力。

解 如图(b)所示,以载流导线的左端为坐标原点,沿导线建立坐标系,在导线上距原点处取线元,则线元对应的电流元在磁场中所受到的安培力大小为

方向如图(b)所示.

载流导线上所有电流元所受安培力方向都相同,所以载流导线受安培力大小为

方向垂直导线向上.

10.25 在磁感应强度为的均匀磁场中,垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线,电流为,如题图所示.求其所受的安培力.

习题10.25图

解 在曲线上取

则

因为与处处垂直,且是均匀的.

所以

方向垂直于向上,大小

10.26如图所示,一平面塑料圆盘,半径为,表面均匀带电,电荷面密度为,假定盘绕其轴线OO以角速度转动,磁场垂直于轴线OO,求圆盘所受磁力矩的大小。

解:在圆盘表面上取圆环,圆环所带电量,

当圆盘转动时,圆环的等效电流

等效磁矩

的方向向上,该磁矩受到磁力矩为

方向垂直于纸面向里,大小为

圆盘所受总的磁力矩大小为

方向垂直于纸面向里.

10.27 边长为=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度=1T 的均匀磁场中,线圈平面与磁场方向平行.如图所示,使线圈通以电流=10A,求:

(1)线圈每边所受的安培力;

(2)对轴的磁力矩大小;

解:

(1)

方向垂直纸面向外,大小为

方向垂直纸面向里,大小为

(2)磁矩大小,方向为与电流绕向成右手螺旋关系,即垂直于纸面向外.

由可知,磁力矩的方向是沿的方向,磁力矩大小为

10.28一铁环中心线周长,横截面,环上紧密地绕有匝线圈.当导线中电流时,通过环截面的磁通量.试求:(1) 铁环内部的磁感应强度和磁场强度大小;(2) 铁芯的相对磁导率;

解

(1)细长的螺绕环中磁场近似为均匀磁场,故

磁场强度可由环路定理求得,

即

可得