题目

设V=<Z,+>,其中Z为整数集,+为普通加法。下列说法正确的是( ) (多选题)A (2x|x∈Z)是V的子代数B (3x|x∈Z)是V的子代数C (x|x是偶数)是V的子代数D (x|x是奇数)是V的子代数

设V=<Z,+>,其中Z为整数集,+为普通加法。下列说法正确的是(      )      (多选题)

A {2x|x∈Z}是V的子代数

B {3x|x∈Z}是V的子代数

C {x|x是偶数}是V的子代数

D {x|x是奇数}是V的子代数

题目解答

答案

解答：

逐个分析选项：

A. {2x | x ∈ Z} 是 V 的子代数。

对于选项 A，我们考虑 {2x | x ∈ Z}。这个集合包含了整数集 Z 中的所有偶数。在整数集 Z 上进行加法运算时，偶数相加的结果仍然是偶数。因此，{2x | x ∈ Z} 是一个封闭于加法运算的子集。由于它满足封闭性质，可以得出 {2x | x ∈ Z} 是 V 的子代数。所以选项 A 是正确的。

B. {3x | x ∈ Z} 是 V 的子代数。

对于选项 B，我们考虑 {3x | x ∈ Z}。这个集合包含了整数集 Z 中的所有能被 3 整除的整数。然而，在整数集 Z 上进行加法运算时，两个能被 3 整除的整数相加的结果未必仍然能被 3 整除。因此，{3x | x ∈ Z} 不满足封闭性质，不是 V 的子代数。所以选项 B 是错误的。

C. {x | x 是偶数} 是 V 的子代数。

对于选项 C，我们考虑 {x | x 是偶数}。这个集合包含了整数集 Z 中的所有偶数。与选项 A 类似，偶数相加的结果仍然是偶数，因此 {x | x 是偶数} 是一个封闭于加法运算的子集。所以选项 C 是正确的。

D. {x | x 是奇数} 是 V 的子代数。

对于选项 D，我们考虑 {x | x 是奇数}。这个集合包含了整数集 Z 中的所有奇数。然而，在整数集 Z 上进行加法运算时，两个奇数相加的结果并不一定是奇数。因此，{x | x 是奇数} 不满足封闭性质，不是 V 的子代数。所以选项 D 是错误的。

综上所述，正确的选项是 A 和 C。即，{2x | x ∈ Z} 是 V 的子代数，{x | x 是偶数} 是 V 的子代数。

解析

步骤 1：分析选项 A
{2x | x ∈ Z} 是 V 的子代数。
这个集合包含了整数集 Z 中的所有偶数。在整数集 Z 上进行加法运算时，偶数相加的结果仍然是偶数。因此，{2x | x ∈ Z} 是一个封闭于加法运算的子集。由于它满足封闭性质，可以得出 {2x | x ∈ Z} 是 V 的子代数。所以选项 A 是正确的。

步骤 2：分析选项 B
{3x | x ∈ Z} 是 V 的子代数。
这个集合包含了整数集 Z 中的所有能被 3 整除的整数。然而，在整数集 Z 上进行加法运算时，两个能被 3 整除的整数相加的结果未必仍然能被 3 整除。因此，{3x | x ∈ Z} 不满足封闭性质，不是 V 的子代数。所以选项 B 是错误的。

步骤 3：分析选项 C
{x | x 是偶数} 是 V 的子代数。
这个集合包含了整数集 Z 中的所有偶数。与选项 A 类似，偶数相加的结果仍然是偶数，因此 {x | x 是偶数} 是一个封闭于加法运算的子集。所以选项 C 是正确的。

步骤 4：分析选项 D
{x | x 是奇数} 是 V 的子代数。
这个集合包含了整数集 Z 中的所有奇数。然而，在整数集 Z 上进行加法运算时，两个奇数相加的结果并不一定是奇数。因此，{x | x 是奇数} 不满足封闭性质，不是 V 的子代数。所以选项 D 是错误的。