6.求int_(L)(x^5y-y)dx+((x^6)/(6)+x)dy.其中L是x^2+y^2=R^2在第一象限由(0，R)到(R，0)的弧段.

为了求解曲线积分 $\int_{L}(x^{5}y-y)dx+(\frac{x^{6}}{6}+x)dy$，其中 $L$ 是圆 $x^2 + y^2 = R^2$ 在第一象限由 $(0, R)$ 到 $(R, 0)$ 的弧段，我们可以使用格林公式。格林公式指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭曲线 $C$ 和一个平面区域 $D$，如果 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，那么 \[ \int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 然而，由于 $L$ 只是圆在第一象限的弧段，我们需要将 $L$ 扩展成一个闭曲线，然后使用格林公式。我们可以将 $L$ 扩展成一个由 $L$ 和 $x$-轴、$y$-轴组成的闭曲线 $C$，然后在 $C$ 上使用格林公式，最后减去在 $x$-轴和 $y$-轴上的积分。 首先，我们计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$： \[ P(x, y) = x^5 y - y, \quad Q(x, y) = \frac{x^6}{6} + x, \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = x^5 + 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = x^5 - 1. \] 因此， \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (x^5 + 1) - (x^5 - 1) = 2. \] 现在，我们使用格林公式计算闭曲线 $C$ 上的积分，其中 $C$ 是由 $L$、$x$-轴和 $y$-轴组成的闭曲线。闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 是圆 $x^2 + y^2 = R^2$ 的第一象限部分，其面积为 $\frac{\pi R^2}{4}$。根据格林公式，我们有 \[ \int_C (x^5 y - y) \, dx + \left( \frac{x^6}{6} + x \right) \, dy = \iint_D 2 \, dA = 2 \cdot \frac{\pi R^2}{4} = \frac{\pi R^2}{2}. \] 接下来，我们需要计算在 $x$-轴和 $y$-轴上的积分。在 $x$-轴上， $y = 0$， $dy = 0$，积分变为 \[ \int_0^R (x^5 \cdot 0 - 0) \, dx + \left( \frac{x^6}{6} + x \right) \cdot 0 = 0. \] 在 $y$-轴上， $x = 0$， $dx = 0$，积分变为 \[ \int_R^0 (0^5 y - y) \cdot 0 + \left( \frac{0^6}{6} + 0 \right) \, dy = 0. \] 因此， $x$-轴和 $y$-轴上的积分之和为 $0$。所以， $L$ 上的积分等于闭曲线 $C$ 上的积分，即 \[ \int_L (x^5 y - y) \, dx + \left( \frac{x^6}{6} + x \right) \, dy = \frac{\pi R^2}{2}. \] 最后，答案是 \[ \boxed{\frac{\pi R^2}{2}}. \]