题目

如图所示，一个半径为R=2cm的无限长半圆柱面导体薄片)沿长度方向自上而下通过的电流柱面上均匀分布，如图所示，I=3 A。求半圆柱面轴线OO'上的磁感应强度。

题目解答

答案

先计算面积为ds的无限长柱电流产生的磁感应强度，流过的电流设为dI，产生的磁感应强度设为 $dB$ ，根据安培环路定理 $\oint dBdl=\mu_0dI$ ，就有 $dB2\pi r=\mu_0dI$ ，解得 $dB=\frac{\mu_0dI}{2\pi r}$ ，设电流密度为 $\rho$ 由于电流均匀分布，就有 $dI=\rho ds$ ， $\rho=\frac{I}{S}$ ，S为半圆的面积，代入得 $dB=\frac{\mu_0\rho}{2\pi r}ds$ ，其中 $ds$ 可以改写为 $ds=rdrd\theta$ ， $\theta$ 为半径和直径的夹角，就有 $dB=\frac{\mu_0\rho}{2\pi}drd\theta$ ，总的磁感应强度 $B=\int_S^{ }dB\sin\theta=\int_0^{\pi}\int_0^R\frac{\mu_0\rho}{2\pi}\sin\theta drd\theta$ ，解得 $B=-\frac{\mu_0\rho R}{2\pi}\cos\theta|_0^{\pi}=\frac{\mu_0\rho R}{\pi}$ ，代入 $\rho=\frac{I}{S}$ ，得 $B=\frac{2\mu_0I}{\pi^2R}$ ，代入数据解得 $B=\frac{2\times4\pi\times10^{-7}\times3}{\pi^2\times0.02}=3.8\times10^{-5}T$ ，方向根据安培定理判断为指向x轴负方向，所以半圆柱面轴线OO'上的磁感应强度为 $3.8\times10^{-5}T$ 。