题目
如图所示，一截面为长方形的闭合绕线环，通有电流为I，总匝数N，外半径与内半径分别为a和b，高h。求:(1)绕线环内外的磁感应强度分布(不包括螺绕环表面)；(2)通过截面的磁通量。
如图所示，一截面为长方形的闭合绕线环，通有电流为I，总匝数N，外半径与内半径分别为a和b，高h。求:
(1)绕线环内外的磁感应强度分布(不包括螺绕环表面)；
(2)通过截面的磁通量。
题目解答
答案
（1）根据安培环路定理计算磁感应强度，取圆形环路就有
绕线环内部
，解得
，
外部环路内电流代数和为零
，解得
，所以绕线环内外的磁感应强度分布为内部为，外部为。
（2）根据磁通量的计算公式
，解得
，所以通过截面的磁通量为。
解析
步骤 1：绕线环内部的磁感应强度
根据安培环路定理，对于绕线环内部的磁场，我们取一个半径为r的圆形环路，其中r在a和b之间。根据安培环路定理，有
$$
\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}
$$
其中，$I_{\text{enc}}$是环路内电流的代数和。对于绕线环，环路内电流为NI，因此
$$
B \cdot 2\pi r = \mu_0 NI
$$
解得绕线环内部的磁感应强度为
$$
B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}
$$
步骤 2：绕线环外部的磁感应强度
对于绕线环外部的磁场，我们取一个半径为r的圆形环路，其中r大于b。根据安培环路定理，有
$$
\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}
$$
其中，$I_{\text{enc}}$是环路内电流的代数和。对于绕线环，环路内电流为0，因此
$$
B \cdot 2\pi r = 0
$$
解得绕线环外部的磁感应强度为
$$
B = 0
$$
步骤 3：通过截面的磁通量
根据磁通量的定义，通过截面的磁通量为
$$
\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
$$
其中，$d\mathbf{A}$是面积元。对于绕线环，面积元为$2\pi r h dr$，因此
$$
\Phi = \int_{a}^{b} \frac{\mu_0 NI}{2\pi r} \cdot 2\pi r h dr = \mu_0 NIh \int_{a}^{b} \frac{dr}{r}
$$
解得通过截面的磁通量为
$$
\Phi = \mu_0 NIh \ln \frac{b}{a}
$$
根据安培环路定理，对于绕线环内部的磁场，我们取一个半径为r的圆形环路，其中r在a和b之间。根据安培环路定理，有
$$
\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}
$$
其中，$I_{\text{enc}}$是环路内电流的代数和。对于绕线环，环路内电流为NI，因此
$$
B \cdot 2\pi r = \mu_0 NI
$$
解得绕线环内部的磁感应强度为
$$
B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}
$$
步骤 2：绕线环外部的磁感应强度
对于绕线环外部的磁场，我们取一个半径为r的圆形环路，其中r大于b。根据安培环路定理，有
$$
\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}
$$
其中，$I_{\text{enc}}$是环路内电流的代数和。对于绕线环，环路内电流为0，因此
$$
B \cdot 2\pi r = 0
$$
解得绕线环外部的磁感应强度为
$$
B = 0
$$
步骤 3：通过截面的磁通量
根据磁通量的定义，通过截面的磁通量为
$$
\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
$$
其中，$d\mathbf{A}$是面积元。对于绕线环，面积元为$2\pi r h dr$，因此
$$
\Phi = \int_{a}^{b} \frac{\mu_0 NI}{2\pi r} \cdot 2\pi r h dr = \mu_0 NIh \int_{a}^{b} \frac{dr}{r}
$$
解得通过截面的磁通量为
$$
\Phi = \mu_0 NIh \ln \frac{b}{a}
$$