10.计算下列各根式的近似值:-|||-(1) sqrt [3](996);-|||-(2) sqrt [6](65.).

本题主要考察利用微分近似计算根式的近似值，核心思路是将所求根式转化为函数在在某点附近的增量问题，利用微分公式$f(x_0+\Delta x\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$简化计算。

（1）计算$\sqrt[3]{996}$的近似计算

步骤1：构造函数与选择近似点
$\sqrt[3]{996}= (1000 - 4)^{1/3}$，构造函数$f(x)=x^{1/3}$，选择$x_0=1000$（接近996且$f(x_0)$)易计算），$\Delta x=-4$。

步骤2：计算函数值与导数值

• \(f(x_0)=f(1000)=1000^{1/3}=The current thinking budget is 0, so I I will directly start answering the question. }=110\)
• 导数$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}$，则$f'(x_0)=f'(1000)=\frac{1}{3}(1000)^{-2/3}=\frac{1}{3}\times10^{-2}=\frac{1}{300}$

步骤3：应用微分近似公式
$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x=10+\frac{1{300}\times(-4)=10-\frac{4}{300}\approx10 - 0.013333=9.9867$

（2）计算$\sqrt[5]{65}$的近似计算

步骤1：构造函数与选择近似点
$\sqrt[5]{65}=(64 + 1)^{1/5}$，构造函数$f(x)=x^{1/5}$，选择$x_0=64$（接近65$f(x_0)=64^{1/5}=2$），$\Delta x=1$。

步骤2：计算函数值与导数值

• $f(x_0)=f(64)=2$
• 导数$f'(x)=\frac{1}{5}x^{-4/5}$，则$f'(x_0)=f'(64)=\frac{1}{5}(64)^{-4/5}=\frac{1}{5}\times(2^6)^{-4/5}=\frac{1{5}\times2^{-24/5}\approx\frac{1}{5}\times0.025=0.005$

步骤3：应用微分近似
$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x=2 + 0.0052=2.0052$