题目
9`.若广义积分 (int )_(0)^+infty (e)^kxdx 收敛,则k的取值范围是 () .-|||-A. gt 0; B. lt 0;-|||-C. leqslant 0; D. geqslant 0..
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定广义积分的收敛条件
广义积分 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{kx}dx$ 收敛的条件是积分值有限。对于指数函数 ${e}^{kx}$，当 $k<0$ 时，随着 $x$ 的增加，${e}^{kx}$ 会趋向于0，从而积分值有限。当 $k\geqslant 0$ 时，${e}^{kx}$ 不会趋向于0，积分值会趋向于无穷大，积分不收敛。
步骤 2：计算广义积分
当 $k<0$ 时，计算广义积分 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{kx}dx$ 的值。
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{e}^{kx}dx = \lim_{b \to +\infty} {\int }_{0}^{b}{e}^{kx}dx = \lim_{b \to +\infty} \left[\frac{{e}^{kx}}{k}\right]_{0}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \left(\frac{{e}^{kb}}{k} - \frac{1}{k}\right)
\]
由于 $k<0$，${e}^{kb}$ 趋向于0，因此积分值为：
\[
\lim_{b \to +\infty} \left(\frac{{e}^{kb}}{k} - \frac{1}{k}\right) = -\frac{1}{k}
\]
积分值有限，因此广义积分收敛。
步骤 3：确定k的取值范围
根据步骤1和步骤2的分析，广义积分 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{kx}dx$ 收敛的条件是 $k<0$。
广义积分 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{kx}dx$ 收敛的条件是积分值有限。对于指数函数 ${e}^{kx}$，当 $k<0$ 时，随着 $x$ 的增加，${e}^{kx}$ 会趋向于0，从而积分值有限。当 $k\geqslant 0$ 时，${e}^{kx}$ 不会趋向于0，积分值会趋向于无穷大，积分不收敛。
步骤 2：计算广义积分
当 $k<0$ 时，计算广义积分 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{kx}dx$ 的值。
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{e}^{kx}dx = \lim_{b \to +\infty} {\int }_{0}^{b}{e}^{kx}dx = \lim_{b \to +\infty} \left[\frac{{e}^{kx}}{k}\right]_{0}^{b} = \lim_{b \to +\infty} \left(\frac{{e}^{kb}}{k} - \frac{1}{k}\right)
\]
由于 $k<0$，${e}^{kb}$ 趋向于0，因此积分值为：
\[
\lim_{b \to +\infty} \left(\frac{{e}^{kb}}{k} - \frac{1}{k}\right) = -\frac{1}{k}
\]
积分值有限，因此广义积分收敛。
步骤 3：确定k的取值范围
根据步骤1和步骤2的分析，广义积分 ${\int }_{0}^{+\infty }{e}^{kx}dx$ 收敛的条件是 $k<0$。