题目
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且-|||-f(0)=f(1)=0 , ''(x)lt 0(xin (0,1)).-|||-若f(x)在[0,1]上的最大值为 gt 0, 求证:对任意的自然数n,-|||-(1)存在惟一的 _(n)in (0,1), 使得 '((x)_(n))=dfrac (M)(n);-|||-(2)极限limxn存在,并且 (ln (x)_(n))=M.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 ${x}_{n}$ 的存在性
首先，我们考虑函数 $F(x) = f(x) - \frac{M}{n}x$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0) = f(1) = 0$，因此 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上也是连续的。由于 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内二阶可导，且 $f''(x) < 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内是凹函数。因此，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内的最大值 $M$ 必定在 $(0,1)$ 内的某一点 $x_M$ 处取得，即 $f(x_M) = M$。此时，$F(x_M) = f(x_M) - \frac{M}{n}x_M = M(1 - \frac{x_M}{n}) > 0$。另一方面，$F(1) = f(1) - \frac{M}{n} = -\frac{M}{n} < 0$。根据介值定理，存在 $\eta \in (x_M, 1)$，使得 $F(\eta) = 0$，即 $f(\eta) = \frac{M}{n}\eta$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且在 $(0,1)$ 内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 $x_n \in (0, \eta)$，使得 $f'(x_n) = \frac{f(\eta) - f(0)}{\eta - 0} = \frac{\frac{M}{n}\eta}{\eta} = \frac{M}{n}$。因此，存在 $x_n \in (0,1)$，使得 $f'(x_n) = \frac{M}{n}$。
步骤 2：证明 ${x}_{n}$ 的唯一性
由于 $f''(x) < 0$，说明 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内是严格递减的。因此，对于任意的 $n$，$f'(x) = \frac{M}{n}$ 在 $(0,1)$ 内最多只有一个解。因此，$x_n$ 是唯一的。
步骤 3：证明极限 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在
由于 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内是严格递减的，且 $f'(x_n) = \frac{M}{n}$，因此 $x_n$ 是严格递增的。又因为 $x_n \in (0,1)$，所以 $x_n$ 有上界。根据单调有界原理，$x_n$ 的极限存在。设 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$，则 $f'(x_0) = \lim_{n \to \infty} f'(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{M}{n} = 0$。由于 $f''(x) < 0$，说明 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内是严格递减的，因此 $f'(x) = 0$ 在 $(0,1)$ 内最多只有一个解。又因为 $f(0) = f(1) = 0$，所以 $f'(x) = 0$ 在 $(0,1)$ 内的解为 $x_0$。因此，$f(x_0) = M$。
首先，我们考虑函数 $F(x) = f(x) - \frac{M}{n}x$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0) = f(1) = 0$，因此 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上也是连续的。由于 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内二阶可导，且 $f''(x) < 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内是凹函数。因此，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内的最大值 $M$ 必定在 $(0,1)$ 内的某一点 $x_M$ 处取得，即 $f(x_M) = M$。此时，$F(x_M) = f(x_M) - \frac{M}{n}x_M = M(1 - \frac{x_M}{n}) > 0$。另一方面，$F(1) = f(1) - \frac{M}{n} = -\frac{M}{n} < 0$。根据介值定理，存在 $\eta \in (x_M, 1)$，使得 $F(\eta) = 0$，即 $f(\eta) = \frac{M}{n}\eta$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且在 $(0,1)$ 内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 $x_n \in (0, \eta)$，使得 $f'(x_n) = \frac{f(\eta) - f(0)}{\eta - 0} = \frac{\frac{M}{n}\eta}{\eta} = \frac{M}{n}$。因此，存在 $x_n \in (0,1)$，使得 $f'(x_n) = \frac{M}{n}$。
步骤 2：证明 ${x}_{n}$ 的唯一性
由于 $f''(x) < 0$，说明 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内是严格递减的。因此，对于任意的 $n$，$f'(x) = \frac{M}{n}$ 在 $(0,1)$ 内最多只有一个解。因此，$x_n$ 是唯一的。
步骤 3：证明极限 $\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在
由于 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内是严格递减的，且 $f'(x_n) = \frac{M}{n}$，因此 $x_n$ 是严格递增的。又因为 $x_n \in (0,1)$，所以 $x_n$ 有上界。根据单调有界原理，$x_n$ 的极限存在。设 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$，则 $f'(x_0) = \lim_{n \to \infty} f'(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{M}{n} = 0$。由于 $f''(x) < 0$，说明 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内是严格递减的，因此 $f'(x) = 0$ 在 $(0,1)$ 内最多只有一个解。又因为 $f(0) = f(1) = 0$，所以 $f'(x) = 0$ 在 $(0,1)$ 内的解为 $x_0$。因此，$f(x_0) = M$。