题目
下列结论错误的是A. z=0 为函数 f(z)=cos (1)/(z) 的孤立奇点B. z=0 为函数 f(z)=csc (1)/(z) 的孤立奇点C. z=0 为函数 f(z)=(1)/(z) 的孤立奇点D. z=0 为函数 f(z)=(1)/(mathrm(e)^z-1) 的孤立奇点
下列结论错误的是
A. $z=0$ 为函数 $f(z)=\cos \frac{1}{z}$ 的孤立奇点
B. $z=0$ 为函数 $f(z)=\csc \frac{1}{z}$ 的孤立奇点
C. $z=0$ 为函数 $f(z)=\frac{1}{z}$ 的孤立奇点
D. $z=0$ 为函数 $f(z)=\frac{1}{\mathrm{e}^{z}-1}$ 的孤立奇点
题目解答
答案
B. $z=0$ 为函数 $f(z)=\csc \frac{1}{z}$ 的孤立奇点
解析
步骤 1：分析选项A
$f(z) = \cos \frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处为本质奇点，但孤立（正确）。
步骤 2：分析选项B
$f(z) = \csc \frac{1}{z} = \frac{1}{\sin \frac{1}{z}}$，$\sin \frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 附近有无数零点（如 $z = \frac{1}{n\pi}$），导致 $f(z)$ 在 $z=0$ 附近有无数极点，非孤立（错误）。
步骤 3：分析选项C
$f(z) = \frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处为简单极点，孤立（正确）。
步骤 4：分析选项D
$f(z) = \frac{1}{e^z - 1}$ 在 $z=0$ 处为极点，孤立（正确）。
$f(z) = \cos \frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处为本质奇点，但孤立（正确）。
步骤 2：分析选项B
$f(z) = \csc \frac{1}{z} = \frac{1}{\sin \frac{1}{z}}$，$\sin \frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 附近有无数零点（如 $z = \frac{1}{n\pi}$），导致 $f(z)$ 在 $z=0$ 附近有无数极点，非孤立（错误）。
步骤 3：分析选项C
$f(z) = \frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处为简单极点，孤立（正确）。
步骤 4：分析选项D
$f(z) = \frac{1}{e^z - 1}$ 在 $z=0$ 处为极点，孤立（正确）。