题目
4.在半径为R的球内作一内接圆锥体,要使锥体体 积 最大,问其高、底半径各应是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆锥的底面半径和高
设圆锥的底面半径为 \(x\)，则圆锥的高为 \(R + \sqrt{R^2 - x^2}\)。这是因为圆锥的顶点在球的中心，底面圆心在球面上，所以圆锥的高是球的半径加上从球心到圆锥底面圆心的距离。
步骤 2：写出圆锥体积的表达式
圆锥的体积 \(V\) 可以表示为：
\[ V = \frac{1}{3} \pi x^2 (R + \sqrt{R^2 - x^2}) \]
步骤 3：利用三角函数替换
令 \(x = R \cos t\)，则 \(V\) 可以表示为：
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 \cos^2 t (R + R \sin t) \]
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos^2 t (1 + \sin t) \]
步骤 4：利用不等式求最值
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos^2 t (1 + \sin t) \]
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^3 (1 - \sin t)(1 + \sin t)(1 + \sin t) \]
\[ V = \frac{1}{6} \pi R^3 (2 - 2 \sin t)(1 + \sin t)(1 + \sin t) \]
\[ V \leq \frac{1}{6} \pi R^3 \left(\frac{2 - 2 \sin t + 1 + \sin t + 1 + \sin t}{3}\right)^3 \]
\[ V \leq \frac{1}{6} \pi R^3 \left(\frac{4}{3}\right)^3 \]
\[ V \leq \frac{32}{81} \pi R^3 \]
步骤 5：确定等号成立的条件
当且仅当 \(2 - 2 \sin t = 1 + \sin t\) 时，等号成立，即 \(\sin t = \frac{1}{2}\)。此时，\(\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以 \(x = R \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} R\)，高为 \(R + \frac{1}{2} R = \frac{3}{2} R\)。
设圆锥的底面半径为 \(x\)，则圆锥的高为 \(R + \sqrt{R^2 - x^2}\)。这是因为圆锥的顶点在球的中心，底面圆心在球面上，所以圆锥的高是球的半径加上从球心到圆锥底面圆心的距离。
步骤 2：写出圆锥体积的表达式
圆锥的体积 \(V\) 可以表示为：
\[ V = \frac{1}{3} \pi x^2 (R + \sqrt{R^2 - x^2}) \]
步骤 3：利用三角函数替换
令 \(x = R \cos t\)，则 \(V\) 可以表示为：
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 \cos^2 t (R + R \sin t) \]
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos^2 t (1 + \sin t) \]
步骤 4：利用不等式求最值
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos^2 t (1 + \sin t) \]
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^3 (1 - \sin t)(1 + \sin t)(1 + \sin t) \]
\[ V = \frac{1}{6} \pi R^3 (2 - 2 \sin t)(1 + \sin t)(1 + \sin t) \]
\[ V \leq \frac{1}{6} \pi R^3 \left(\frac{2 - 2 \sin t + 1 + \sin t + 1 + \sin t}{3}\right)^3 \]
\[ V \leq \frac{1}{6} \pi R^3 \left(\frac{4}{3}\right)^3 \]
\[ V \leq \frac{32}{81} \pi R^3 \]
步骤 5：确定等号成立的条件
当且仅当 \(2 - 2 \sin t = 1 + \sin t\) 时，等号成立，即 \(\sin t = \frac{1}{2}\)。此时，\(\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以 \(x = R \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2} R\)，高为 \(R + \frac{1}{2} R = \frac{3}{2} R\)。