题目
函数mathrm(z)=(mathrm{x)}^3+(mathrm{y)}^3在点(-1，2)处增加最快的方向是(,,,)mathrm(A)、(dfrac(1)(sqrt(17))，dfrac(4)(sqrt(17)))mathrm(B)、(-dfrac(1)(sqrt(17))，-dfrac(4)(sqrt(17)))mathrm(C)、(-dfrac(1)(sqrt(5))，dfrac(2)(sqrt(5)))mathrm(D)、(dfrac(1)(sqrt(5))，-dfrac(2)(sqrt(5)))
函数$\mathrm{z}={\mathrm{x}}^{3}+{\mathrm{y}}^{3}$在点$\left(-1，2\right)$处增加最快的方向是$\left(\,\,\,\right)$
$\mathrm{A}、\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}，\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)$
$\mathrm{B}、\left(-\dfrac{1}{\sqrt{17}}，-\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)$
$\mathrm{C}、\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}，\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$
$\mathrm{D}、\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}，-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)$
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：计算函数的梯度
函数$\mathrm{z}={\mathrm{x}}^{3}+{\mathrm{y}}^{3}$在点$\left(-1，2\right)$处的梯度为$\nabla f(x,y) = (3x^2, 3y^2)$。将点$\left(-1，2\right)$代入，得到$\nabla f(-1,2) = (3(-1)^2, 3(2)^2) = (3, 12)$。
步骤 2：确定增加最快的方向
函数在某点增加最快的方向是该点梯度的方向。因此，函数$\mathrm{z}={\mathrm{x}}^{3}+{\mathrm{y}}^{3}$在点$\left(-1，2\right)$处增加最快的方向是$\nabla f(-1,2) = (3, 12)$的方向。
步骤 3：将梯度方向单位化
为了得到单位方向，需要将梯度向量$(3, 12)$单位化。向量的模为$\sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$。因此，单位方向为$\left(\dfrac{3}{3\sqrt{17}}, \dfrac{12}{3\sqrt{17}}\right) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}, \dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)$。
函数$\mathrm{z}={\mathrm{x}}^{3}+{\mathrm{y}}^{3}$在点$\left(-1，2\right)$处的梯度为$\nabla f(x,y) = (3x^2, 3y^2)$。将点$\left(-1，2\right)$代入，得到$\nabla f(-1,2) = (3(-1)^2, 3(2)^2) = (3, 12)$。
步骤 2：确定增加最快的方向
函数在某点增加最快的方向是该点梯度的方向。因此，函数$\mathrm{z}={\mathrm{x}}^{3}+{\mathrm{y}}^{3}$在点$\left(-1，2\right)$处增加最快的方向是$\nabla f(-1,2) = (3, 12)$的方向。
步骤 3：将梯度方向单位化
为了得到单位方向，需要将梯度向量$(3, 12)$单位化。向量的模为$\sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$。因此，单位方向为$\left(\dfrac{3}{3\sqrt{17}}, \dfrac{12}{3\sqrt{17}}\right) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}, \dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)$。