题目

8、设两圆ρ=2sinθ和ρ=4sinθ所围成的均匀平面薄片重心坐标为(bar(x),bar(y))，由对称性知bar(x)=0，则bar(y)=（）.A. int_(0)^pidthetaint_(2sintheta)^4sinthetarho^2sintheta drho;B. (1)/(3pi)int_(0)^pidthetaint_(2sintheta)^4sinthetarho^2sintheta drho;C. int_(0)^2pidthetaint_(2sintheta)^4sinthetarho^2sintheta drho;D. (1)/(3pi)int_(0)^2pidthetaint_(2sintheta)^4sinthetarho^2sintheta drho.

8、设两圆ρ=2sinθ和ρ=4sinθ所围成的均匀平面薄片重心坐标为($\bar{x}$,$\bar{y}$)，由对称性知$\bar{x}$=0，则$\bar{y}$=（）.

A. $\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{2sin\theta}^{4sin\theta}\rho^{2}\sin\theta d\rho$;

B. $\frac{1}{3\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{2sin\theta}^{4sin\theta}\rho^{2}\sin\theta d\rho$;

C. $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{2sin\theta}^{4sin\theta}\rho^{2}\sin\theta d\rho$;

D. $\frac{1}{3\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{2sin\theta}^{4sin\theta}\rho^{2}\sin\theta d\rho$.

题目解答

答案

B. $\frac{1}{3\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{2sin\theta}^{4sin\theta}\rho^{2}\sin\theta d\rho$;

解析

本题考查极坐标下平面薄片重心坐标的计算，解题的关键在于利用极坐标下的面积公式和重心坐标公式进行计算。

  1. 确定积分区域：
    • 已知两圆方程$\rho = 2\sin\theta$和$\rho = 4\sin\theta$，在极坐标中，$\theta$的取值范围是$[0, \pi]$，因为对于圆$\rho = a\sin\theta$，其图形关于$y$轴对称，$\theta$从$0$到$\pi$就能完整表示圆的范围。
    • $\rho$的取值范围是从内圆$\rho = 2\sin\theta$到外圆$\rho = 4\sin\theta$。
  2. 计算平面薄片的面积$S$：
    • 在极坐标下，平面区域的面积公式为$S=\iint_{D}d\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)}\rho d\rho$，其中$\alpha$和$\beta$是$\theta$的积分限，$\rho_1(\theta)$和$\rho_2(\theta)$是$\rho$的积分限。
    • 对于本题，$\alpha = 0$，$\beta = \pi$，$\rho_1(\theta)=2\sin\theta$，$\rho_2(\theta)=4\sin\theta$，则面积$S=\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho d\rho$。
    • 先对$\rho$积分：$\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho d\rho=\left[\frac{1}{2}\rho^{2}\right]_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}=\frac{1}{2}((4\sin\theta)^{2}-(2\sin\theta)^{2})=\frac{1}{2}(16\sin^{2}\theta - 4\sin^{2}\theta)=6\sin^{2}\theta$。
    • 再对$\theta$积分：$S=\int_{0}^{\pi}6\sin^{2}\theta d\theta$，根据$\sin^{2}\theta=\frac{1 - \cos2\theta}{2}$，则$S = 6\int_{0}^{\pi}\frac{1 - \cos2\theta}{2}d\theta=3\int_{0}^{\pi}(1 - \cos2\theta)d\theta$。
    • 计算$3\int_{0}^{\pi}(1 - \cos2\theta)d\theta=3\left[\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right]_{0}^{\pi}=3(\pi - 0)=3\pi$。
  3. 计算$\iint_{D}y d\sigma$：
    • 在极坐标中，$y = \rho\sin\theta$，$d\sigma=\rho d\rho d\theta$，所以$\iint_{D}y d\sigma=\iint_{D}\rho\sin\theta\cdot\rho d\rho d\theta=\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho^{2}\sin\theta d\rho$。
  4. 计算重心的$y$坐标$\bar{y}$：
    • 根据重心坐标公式$\bar{y}=\frac{\iint_{D}y d\sigma}{\iint_{D}d\sigma}$，将$\iint_{D}y d\sigma=\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho^{2}\sin\theta d\rho$和$\iint_{D}d\sigma = 3\pi$代入可得$\bar{y}=\frac{1}{3\pi}\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho^{2}\sin\theta d\rho$。