题目
[3-2（6）] 一质量为m=2kg的质点做直线运动，运动方程为=5+2t+(t)^3(SI)，则在0到4s内外力对该质点做的功W=____，冲量大小I=____。
[3-2（6）] 一质量为m=2kg的质点做直线运动，运动方程为
，则在0到4s内外力对该质点做的功W=____，冲量大小I=____。
题目解答
答案
∵
∴该质点的速度
∴
，
外力做的功
冲量大小
解析
步骤 1：计算质点的速度
根据运动方程 $x=5+2t+t^3$，我们可以通过求导得到质点的速度 $v$。
$$v=\frac{dx}{dt}=2+3t^2$$
步骤 2：计算质点在0到4秒内的初速度和末速度
将 $t=0$ 和 $t=4$ 代入速度方程中，得到初速度 $v_0$ 和末速度 $v_4$。
$$v_0=2+3(0)^2=2$$
$$v_4=2+3(4)^2=2+48=50$$
步骤 3：计算外力做的功
根据动能定理，外力做的功等于质点动能的变化量。
$$W=\frac{1}{2}mv_4^2-\frac{1}{2}mv_0^2$$
代入 $m=2$，$v_0=2$，$v_4=50$，得到
$$W=\frac{1}{2}\times2\times50^2-\frac{1}{2}\times2\times2^2=2500-4=2496J$$
步骤 4：计算冲量大小
冲量大小等于质点动量的变化量。
$$I=m\Delta v=m(v_4-v_0)$$
代入 $m=2$，$v_0=2$，$v_4=50$，得到
$$I=2\times(50-2)=96N\cdot s$$
根据运动方程 $x=5+2t+t^3$，我们可以通过求导得到质点的速度 $v$。
$$v=\frac{dx}{dt}=2+3t^2$$
步骤 2：计算质点在0到4秒内的初速度和末速度
将 $t=0$ 和 $t=4$ 代入速度方程中，得到初速度 $v_0$ 和末速度 $v_4$。
$$v_0=2+3(0)^2=2$$
$$v_4=2+3(4)^2=2+48=50$$
步骤 3：计算外力做的功
根据动能定理，外力做的功等于质点动能的变化量。
$$W=\frac{1}{2}mv_4^2-\frac{1}{2}mv_0^2$$
代入 $m=2$，$v_0=2$，$v_4=50$，得到
$$W=\frac{1}{2}\times2\times50^2-\frac{1}{2}\times2\times2^2=2500-4=2496J$$
步骤 4：计算冲量大小
冲量大小等于质点动量的变化量。
$$I=m\Delta v=m(v_4-v_0)$$
代入 $m=2$，$v_0=2$，$v_4=50$，得到
$$I=2\times(50-2)=96N\cdot s$$