题目

4.填空题设离散型随机变量(X,Y)的分布律为P_(ij)=PX=i,Y=j=cij,i=1,2,3,j=1,2,3,则c=____.(用最简分数表示)

4.填空题 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为 $P_{ij}=P\{X=i,Y=j\}=cij,i=1,2,3,j=1,2,3,$ 则c=____ .(用最简分数表示)

题目解答

答案

根据题意，离散型随机变量 $(X, Y)$ 的分布律为 $P_{ij} = cij$，其中 $i, j = 1, 2, 3$。
所有概率之和应等于1，即：
$\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} P_{ij} = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} cij = c \sum_{i=1}^{3} i \sum_{j=1}^{3} j$
计算得：
$\sum_{i=1}^{3} i = 1 + 2 + 3 = 6, \quad \sum_{j=1}^{3} j = 1 + 2 + 3 = 6$
因此：
$c \times 6 \times 6 = 36c = 1$
解得：
$c = \frac{1}{36}$

答案： $\boxed{\frac{1}{36}}$

解析

本题考查离散型随机变量分布律的性质。解题思路是利用离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$这一性质来求解$c$的值。

  1. 首先明确离散型随机变量分布律的性质：对于离散型随机变量$(X,Y)$，其所有可能取值的概率之和$\sum_{i}\sum_{j}P\{X = i,Y = j\}=1$。
  2. 已知$P_{ij}=P\{X = i,Y = j\}=cij$，$i = 1,2,3$，$j = 1,2,3$，那么$\sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}P_{ij}=\sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}cij$。
  3. 根据乘法分配律，$\sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}cij=c\sum_{i = 1}^{3}i\sum_{j = 1}^{3}j$。
  4. 分别计算$\sum_{i = 1}^{3}i$和$\sum_{j = 1}^{3}j$的值：
    • 计算$\sum_{i = 1}^{3}i$，根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$（其中$n = 3$，$a_1 = 1$，$a_n = 3$），可得$\sum_{i = 1}^{3}i=\frac{3\times(1 + 3)}{2}=6$。
    • 同理，$\sum_{j = 1}^{3}j=\frac{3\times(1 + 3)}{2}=6$。
  5. 将$\sum_{i = 1}^{3}i = 6$和$\sum_{j = 1}^{3}j = 6$代入$c\sum_{i = 1}^{3}i\sum_{j = 1}^{3}j$中，得到$c\times6\times6 = 36c$。
  6. 因为$\sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}P_{ij}=1$，所以$36c = 1$。
  7. 求解$c$，两边同时除以$36$，可得$c=\frac{1}{36}$。