15 求平面 2x-2y+z+5=0 与各坐标面的夹角的余弦.16 设一平面过点 M_(0)(1,2,-1) 且垂直于平面 3x-4y+z+16=0 和 4x-z+6=0,试求这平面方程.

### 题目15: 求平面 $2x-2y+z+5=0$ 与各坐标面的夹角的余弦. 平面 $2x-2y+z+5=0$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (2, -2, 1)$。 #### 与 $x$-$y$ 平面的夹角 $x$-$y$ 平面的法向量为 $\mathbf{n_1} = (0, 0, 1)$。平面 $2x-2y+z+5=0$ 与 $x$-$y$ 平面的夹角 $\theta$ 的余弦值为: \[ \cos \theta = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{n_1}|}{$\mathbf{n}$ $\mathbf{n_1}$} = \frac{|2 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{9} \cdot 1} = \frac{1}{3} \] #### 与 $y$-$z$ 平面的夹角 $y$-$z$ 平面的法向量为 $\mathbf{n_2} = (1, 0, 0)$。平面 $2x-2y+z+5=0$ 与 $y$-$z$ 平面的夹角 $\theta$ 的余弦值为: \[ \cos \theta = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{n_2}|}{$\mathbf{n}$ $\mathbf{n_2}$} = \frac{|2 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 0|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{9} \cdot 1} = \frac{2}{3} \] #### 与 $z$-$x$ 平面的夹角 $z$-$x$ 平面的法向量为 $\mathbf{n_3} = (0, 1, 0)$。平面 $2x-2y+z+5=0$ 与 $z$-$x$ 平面的夹角 $\theta$ 的余弦值为: \[ \cos \theta = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{n_3}|}{$\mathbf{n}$ $\mathbf{n_3}$} = \frac{|2 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 0|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{9} \cdot 1} = \frac{2}{3} \] 因此，平面 $2x-2y+z+5=0$ 与各坐标面的夹角的余弦值分别为 $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$。 ### 题目16: 设一平面过点 $M_{0}(1,2,-1)$ 且垂直于平面 $3x-4y+z+16=0$ 和 $4x-z+6=0$,试求这平面方程. 平面 $3x-4y+z+16=0$ 的法向量为 $\mathbf{n_1} = (3, -4, 1)$。平面 $4x-z+6=0$ 的法向量为 $\mathbf{n_2} = (4, 0, -1)$。所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{n_1}$ 和 $\mathbf{n_2}$ 都垂直，因此可以取 $\mathbf{n_1}$ 和 $\mathbf{n_2}$ 的叉积: \[ \mathbf{n} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4) \cdot (-1) - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(3 \cdot (-1) - 1 \cdot 4) + \mathbf{k}(3 \cdot 0 - (-4) \cdot 4) = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(16) = (4, 7, 16) \] 所求平面的方程为: \[ 4(x-1) + 7(y-2) + 16(z+1) = 0 \] 展开并化简: \[ 4x - 4 + 7y - 14 + 16z + 16 = 0 \implies 4x + 7y + 16z - 2 = 0 \] 因此，所求平面的方程为: \[ \boxed{4x + 7y + 16z - 2 = 0} \]